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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Cayley–Hamilton Theorem

We next discuss an interesting and important application of Proposition 7.10, the CayleyHamilton theorem. The results of this section apply to matrices over any commutative ring $K$. First we need the concept of the characteristic polynomial of a matrix.

Definition 7.9. If $K$ is any commutative ring, for every $n \times n$ matrix $A \in \mathrm{M}_n(K)$, the characteristic polynomial $P_A(X)$ of $A$ is the determinant
$$P_A(X)=\operatorname{det}(X I-A) .$$
The characteristic polynomial $P_A(X)$ is a polynomial in $K[X]$, the ring of polynomials in the indeterminate $X$ with coefficients in the ring $K$. For example, when $n=2$, if
$$A=\left(\begin{array}{ll} a & b \ c & d \end{array}\right),$$
then
$$P_A(X)=\left|\begin{array}{cc} X-a & -b \ -c & X-d \end{array}\right|=X^2-(a+d) X+a d-b c$$

We can substitute the matrix $A$ for the variable $X$ in the polynomial $P_A(X)$, obtaining a matrix $P_A$. If we write
$$P_A(X)=X^n+c_1 X^{n-1}+\cdots+c_n,$$
then
$$P_A=A^n+c_1 A^{n-1}+\cdots+c_n I .$$
We have the following remarkable theorem.

## 计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Motivating Example: Curve Interpolation

Curve interpolation is a problem that arises frequently in computer graphics and in robotics (path planning). There are many ways of tackling this problem and in this section we will describe a solution using cubic splines. Such splines consist of cubic Bézier curves. They are often used because they are cheap to implement and give more flexibility than quadratic Bézier curves.

A cubic Bézier curve $C(t)$ (in $\mathbb{R}^2$ or $\mathbb{R}^3$ ) is specified by a list of four control points $\left(b_0, b_1, b_2, b_3\right)$ and is given parametrically by the equation
$$C(t)=(1-t)^3 b_0+3(1-t)^2 t b_1+3(1-t) t^2 b_2+t^3 b_3$$
Clearly, $C(0)=b_0, C(1)=b_3$, and for $t \in[0,1]$, the point $C(t)$ belongs to the convex hull of the control points $b_0, b_1, b_2, b_3$. The polynomials
$$(1-t)^3, \quad 3(1-t)^2 t, \quad 3(1-t) t^2, \quad t^3$$
are the Bernstein polynomials of degree 3 .
Typically, we are only interested in the curve segment corresponding to the values of $t$ in the interval $[0,1]$. Still, the placement of the control points drastically affects the shape of the curve segment, which can even have a self-intersection; See Figures 8.1, 8.2, 8.3 illustrating various configurations.

# 机器学习代考

## 计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Cayley–Hamilton Theorem

$$P_A(X)=\operatorname{det}(X I-A) .$$

$$A=\left(\begin{array}{lll} a & b c & d \end{array}\right),$$
$$P_A(X)=|X-a \quad-b-c \quad X-d|=X^2-(a+d) X+a d-b c$$

$$P_A(X)=X^n+c_1 X^{n-1}+\cdots+c_n,$$
$$P_A=A^n+c_1 A^{n-1}+\cdots+c_n I .$$

## 计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Motivating Example: Curve Interpolation

$$C(t)=(1-t)^3 b_0+3(1-t)^2 t b_1+3(1-t) t^2 b_2+t^3 b_3$$

$$(1-t)^3, \quad 3(1-t)^2 t, \quad 3(1-t) t^2, \quad t^3$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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