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风险度量是历史上预测投资风险和波动的统计措施,它们也是现代投资组合理论(MPT)的主要组成部分。MPT是一种标准的金融和学术方法,用于评估一只股票或一只股票基金与其基准指数相比的表现。

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金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|FIN650

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Special cases

Our first special case is when $\rho_{12}=-1$. From (2.8),
$$
\begin{aligned}
\sigma_w^2 &=w_1^2 \sigma_1^2+w_2^2 \sigma_2^2-2 w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \
&=\left(w_1 \sigma_1-w_2 \sigma_2\right)^2,
\end{aligned}
$$
hence
$$
\sigma_{\mathrm{w}}=\left|w_1 \sigma_1-w_2 \sigma_2\right| .
$$
Since $\sigma_{\mathrm{w}}$ is non-negative the smallest value it could take is $\sigma_{\mathrm{w}}=0$. Taking $w_1=w$ and $w_2=1-w$ gives
$$
\sigma_{\mathrm{w}}-\left|w \sigma_1-(1-w) \sigma_2\right| .
$$
and we can solve for $\sigma_{\mathrm{w}}=0$, obtaining
$$
w=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}, \quad 1-w=\frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2} .
$$
Since $\sigma_1, \sigma_2 \geq 0$, we can see that $w \in[0,1]$, hence we can minimise our risk to zero without short-selling.

From (2.12) and (2.11) one can show that the attainable set consists of two half lines, emanating from the vertical axis (see Figure 2.5).

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|Minimum variance portfolio

We return to the case of two risky securities, $S_1$ and $S_2$. We wish to minimise the variance $\sigma_{\mathrm{w}}^2$ – or, equivalently, the standard deviation $\sigma_{\mathrm{w}}$. We start with a theorem where the problem is solved when there are no restrictions on short-selling.
Theorem $2.8$
If short-selling is allowed, then the portfolio with minimum variance has the weights $\mathbf{w}{\min }=\left(w_1, w_2\right)$ with $$ w_1=\frac{a}{a+b}, \quad w_2=\frac{b}{a+b}, $$ where $$ \begin{aligned} &a=\sigma_2^2-\rho{12} \sigma_1 \sigma_2, \
&b=\sigma_1^2-\rho_{12} \sigma_1 \sigma_2,
\end{aligned}
$$
unless both $\rho_{12}=1$ and $\sigma_1=\sigma_2$.
Proof When $\rho_{12}=-1$, then from (2.13)
$$
w_1=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}=\frac{\sigma_2\left(\sigma_1+\sigma_2\right)}{\left(\sigma_1+\sigma_2\right)^2}=\frac{a}{a+b} .
$$
Similarly, for $\rho_{12}=1$, using (2.14)
$$
w_1=\frac{-\sigma_2}{\sigma_1-\sigma_2}=\frac{-\sigma_2\left(\sigma_1-\sigma_2\right)}{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2}=\frac{a}{a+b} .
$$
When $\rho_{12} \in(-1,1)$,
$$
\sigma_w^2=w^2 \sigma_1^2+(1-w)^2 \sigma_2^2+2 w(1-w) \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2
$$
is a quadratic function. We compute the derivative of $\sigma_w^2$ with respect to $w$ and equate it to 0 :
$$
2 w \sigma_1^2-2(1-w) \sigma_2^2+2(1-w) \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2-2 w \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2=0 .
$$
Solving for $w$ gives the above result. The second derivative is positive,
$$
2 \sigma_1^2+2 \sigma_2^2-4 \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2>2 \sigma_1^2+2 \sigma_2^2-4 \sigma_1 \sigma_2=2\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2 \geq 0,
$$
which shows that we have a global minimum.

金融代写|风险和利率理论代写Market Risk, Measures and Portfolio Theory代考|FIN650

风险和利率理论代写

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、措施和投资组合理论代考|特殊情况


我们的第一个特殊情况是$\rho_{12}=-1$。从(2.8),
$$
\begin{aligned}
\sigma_w^2 &=w_1^2 \sigma_1^2+w_2^2 \sigma_2^2-2 w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \
&=\left(w_1 \sigma_1-w_2 \sigma_2\right)^2,
\end{aligned}
$$
因此
$$
\sigma_{\mathrm{w}}=\left|w_1 \sigma_1-w_2 \sigma_2\right| .
$$
由于$\sigma_{\mathrm{w}}$是非负的,它可以取的最小值是$\sigma_{\mathrm{w}}=0$。取$w_1=w$和$w_2=1-w$得到
$$
\sigma_{\mathrm{w}}-\left|w \sigma_1-(1-w) \sigma_2\right| .
$$
,我们可以解出$\sigma_{\mathrm{w}}=0$,得到
$$
w=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}, \quad 1-w=\frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2} .
$$
由于$\sigma_1, \sigma_2 \geq 0$,我们可以看到$w \in[0,1]$,因此我们可以在不做空的情况下将风险降至零


从(2.12)和(2.11)可以看出,可达到的集合由两条半线组成,从垂直轴发出(见图2.5)

金融代写|风险和利率理论代写市场风险、度量和投资组合理论代考|最小方差投资组合


我们回到两个风险证券的情况,$S_1$和$S_2$。我们希望最小化方差$\sigma_{\mathrm{w}}^2$ -或者,等价地,最小化标准差$\sigma_{\mathrm{w}}$。我们从一个定理开始,当没有卖空限制时,问题就解决了。
定理$2.8$
如果允许卖空,那么方差最小的投资组合的权重为$\mathbf{w}{\min }=\left(w_1, w_2\right)$和$$ w_1=\frac{a}{a+b}, \quad w_2=\frac{b}{a+b}, $$其中$$ \begin{aligned} &a=\sigma_2^2-\rho{12} \sigma_1 \sigma_2, \
&b=\sigma_1^2-\rho_{12} \sigma_1 \sigma_2,
\end{aligned}
$$
除非$\rho_{12}=1$和$\sigma_1=\sigma_2$。
证明当$\rho_{12}=-1$,那么从(2.13)
$$
w_1=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}=\frac{\sigma_2\left(\sigma_1+\sigma_2\right)}{\left(\sigma_1+\sigma_2\right)^2}=\frac{a}{a+b} .
$$
类似地,对于$\rho_{12}=1$,使用(2.14)
$$
w_1=\frac{-\sigma_2}{\sigma_1-\sigma_2}=\frac{-\sigma_2\left(\sigma_1-\sigma_2\right)}{\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2}=\frac{a}{a+b} .
$$
当$\rho_{12} \in(-1,1)$,
$$
\sigma_w^2=w^2 \sigma_1^2+(1-w)^2 \sigma_2^2+2 w(1-w) \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2
$$
是一个二次函数。我们计算$\sigma_w^2$对$w$的导数,并将其等于0:
$$
2 w \sigma_1^2-2(1-w) \sigma_2^2+2(1-w) \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2-2 w \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2=0 .
$$
求解$w$得到上述结果。二阶导数为正,
$$
2 \sigma_1^2+2 \sigma_2^2-4 \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2>2 \sigma_1^2+2 \sigma_2^2-4 \sigma_1 \sigma_2=2\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2 \geq 0,
$$
,这表明我们有一个全局最小值

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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