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金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FIM549

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Power series: radius of convergence

The problem dealt with in this section is as follows. Consider a sequence of real numbers $\left(a_n\right){n \geq 0}$ and the function defined by the so-called power series: $$ f(x)=\sum{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n .
$$
Given $x_0 \in \mathbb{R}$, it is important to find all the values $x \in \mathbb{R}$ such that the series of functions (2.15) converges.
Example 2.33. With $x_0=0$, the power series:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{((2 n) !)^2}{16^n(n !)^4} x^n
$$
converges for $|x|<1$.
Remark 2.34. It is not restrictive, by using a translation, to consider the following simplified-form power series, obtained from (2.15) with $x_0=0$ :
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
$$
Obviously, the choice of $x$ in (2.16) determinates the convergence of the series. The following Lemma $2.35$ is of some importance.

Lemma 2.35. If (2.16) converges for $x=r_0$ then, for any $0 \leq r<\left|r_0\right|$, it is absolutely and uniformly convergent in $[-r, r]$.

Proof. It is assumed the convergence of the numerical series $\sum_{n=0}^{\infty} a_n r_0^n$, that is to say, there exists a positive constant $K$ such that $\left|a_n r_0^n\right| \leq K$. Since $\left|\frac{r}{r_0}\right|<1$, then the geometrical series $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r}{r_0}\right)^n$ converges. Now, for any $n \geq 0$ and any $x \in[-r, r]:$
$$
\left|a_n x^n\right|=\left|a_n r_0^n\right|\left|\frac{x}{r_0}\right|^n \leq K\left|\frac{x}{r_0}\right|^n \leq K\left|\frac{r}{r_0}\right|^n .
$$
By Theorem 2.27, inequality (2.17) implies that (2.16) is uniformly convergent. Due to positivity, the convergence is also absolute.

From Lemma $2.35$ it follows the fundamental Theorem 2.36, due to Cauchy and Hadamard ${ }^3$, which explains the behaviour of a power series:

Theorem $2.36$ (Cauchy-Hadamard). Given the power series (2.16), then only one of the following alternatives holds:
(i) series (2.16) converges for any $x$;
(ii) series (2.16) converges only for $x=0$;
(iii) there exists a positive number $r$ such that series (2.16) converges for any $x \in]-r, r[$ and diverges for any $x \in]-\infty,-r[\cup] r,+\infty[$.

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Taylor-Maclaurin series

Our starting point, here, is the Taylor $^4$ formula with Lagrange ${ }^5$ remainder term. Let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be a function that admits derivatives of any order at $x_0 \in I$. The Taylor-Lagrange theorem states that, if $x \in I$, then there exists a real number $\xi$, between $x$ and $x_0$, such that:
$$
\begin{aligned}
f(x) &=P_n\left(f(x), x_0\right)+R_n\left(f(x), x_0\right) \
&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1} .
\end{aligned}
$$
Since $f$ has derivatives of any order, we may form the limit of (2.23) as $n \rightarrow \infty$; a condition is stated in Theorem $2.45$ to detect when the passage to the limit is effective.

Theorem 2.45. If $f$ has derivatives of any order in the open interval $I$, with $x_0, x \in I$, and if:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} R_n\left(f(x), x_0\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}=0,
$$

then:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} y \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n .
$$
Definition 2.46. A function $f(x)$, defined on an open interval $I$, is analytic at $x_0 \in I$, if its Taylor series about $x_0$ converges to $f(x)$ in some neighbourhood of $x_0$.

Remark 2.47. Assuming the existence of the derivatives of any order is not enough to infer that a function is analytic and, thus, it can be represented with a convergent power series. For instance, the function:
has derivatives of any order in $x_0=0$, but such derivates are all zero, therefore the Taylor series reduces to the zero function. This happens because the Lagrange remainder does not vanish as $n \rightarrow \infty$.

Note that the majority of the functions, that interest us, does not possess the behaviour shown in Remark 2.47. The series expansion of the most important, commonly used, functions can be inferred from Equation (2.23), i.e., from the Taylor-Lagrange theorem. And Theorem $2.45$ yields a sufficient condition to ensure that a given function is analytic.

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FIM549

金融数值计算代写

金融代写|金融数值计算代写市场风险,金融数值分析代考|幂级数:收敛半径


本节所处理的问题如下。考虑一个实数序列$\left(a_n\right){n \geq 0}$和由所谓的幂级数定义的函数:$$ f(x)=\sum{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n .
$$
对于$x_0 \in \mathbb{R}$,找到所有的值$x \in \mathbb{R}$是很重要的,这样函数系列(2.15)才能收敛。
例2.33对于$x_0=0$,幂级数:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{((2 n) !)^2}{16^n(n !)^4} x^n
$$
收敛于$|x|<1$ .
备注2.34。通过翻译,可以不受限制地考虑以下简化形式的幂级数,由(2.15)和$x_0=0$:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
$$
得到。显然,(2.16)中选择$x$决定了该级数的收敛性。以下引理$2.35$具有一定的重要性

引理2.35。如果(2.16)对于$x=r_0$是收敛的,那么,对于任何$0 \leq r<\left|r_0\right|$,它在$[-r, r]$是绝对一致收敛的

证明。假设数值级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n r_0^n$收敛,也就是说,存在一个正常数$K$,使得$\left|a_n r_0^n\right| \leq K$。从$\left|\frac{r}{r_0}\right|<1$开始,则几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r}{r_0}\right)^n$收敛。现在,对于任意$n \geq 0$和任意$x \in[-r, r]:$
$$
\left|a_n x^n\right|=\left|a_n r_0^n\right|\left|\frac{x}{r_0}\right|^n \leq K\left|\frac{x}{r_0}\right|^n \leq K\left|\frac{r}{r_0}\right|^n .
$$
,根据定理2.27,不等式(2.17)意味着(2.16)是一致收敛的。由于正性,收敛性也是绝对的 从引理$2.35$,它遵循基本定理2.36,由于Cauchy和Hadamard ${ }^3$,它解释了幂级数的行为:

定理$2.36$ (Cauchy-Hadamard)。给定幂级数(2.16),那么下列选项中只有一个成立:
(i)级数(2.16)对任何$x$收敛;
(ii)级数(2.16)只对$x=0$收敛;
(iii)存在一个正数$r$,使得级数(2.16)对任何$x \in]-r, r[$收敛,对任何$x \in]-\infty,-r[\cup] r,+\infty[$发散

金融代写|金融数值计算代写市场风险,金融的数值分析代考|Taylor-Maclaurin系列


我们的起点,这里是泰勒$^4$公式,拉格朗日${ }^5$余项。设$f: I \rightarrow \mathbb{R}$是一个函数,在$x_0 \in I$处允许任意阶导数。泰勒-拉格朗日定理指出,如果$x \in I$,则在$x$和$x_0$之间存在实数$\xi$,满足以下条件:
$$
\begin{aligned}
f(x) &=P_n\left(f(x), x_0\right)+R_n\left(f(x), x_0\right) \
&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1} .
\end{aligned}
$$
由于$f$有任意阶导数,我们可以将(2.23)的极限表示为$n \rightarrow \infty$;定理$2.45$中陈述了一个条件,用于检测到达极限的通道何时有效

定理2.45。如果$f$在开放区间$I$与$x_0, x \in I$之间有任意顺序的导数,并且如果:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} R_n\left(f(x), x_0\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}=0,
$$

then:
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} y \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n .
$$
在开放区间$I$上定义的函数$f(x)$,如果关于$x_0$的泰勒级数在$x_0$的某个邻域内收敛到$f(x)$,则在$x_0 \in I$处是解析函数

备注2.47。假设任何阶导数的存在都不足以推断一个函数是解析函数,因此,它可以用一个收敛幂级数表示。例如,函数:
在$x_0=0$中有任意阶导数,但这些导数都为零,因此泰勒级数简化为零函数。这是因为拉格朗日余数不会随着$n \rightarrow \infty$而消失。


注意,我们感兴趣的大多数函数不具有注释2.47所示的行为。最重要的、常用的函数的级数展开可以从式(2.23)中推导出来,即从泰勒-拉格朗日定理。定理$2.45$给出了一个充分条件,以确保给定的函数是解析函数

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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