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金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FINANCE762

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Uniform convergence

Pointwise convergence does not allow, in general, interchanging between limit and integral operators, a possibility that we call passage to the limit and that we also address in $\S 8.10$. To explain it, consider the sequence of functions:
$$
f_n(x)=n e^{-n^2 x^2}
$$
defined on $[0, \infty)$; it is a sequence that clearly converges to the zero function. Employing the substitution $n x=y$, evaluation of the integral of $f_n$ yields:
$$
\int_0^{\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} e^{-y^2} \mathrm{~d} y .
$$
We do not have the tools, yet, to evaluate the integral in the left-hand side of the above equality (but we will soon), but it is clear that it is a positive real number, so we have:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^{\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} e^{-y^2} \mathrm{~d} y=\alpha>0 \neq \int_0^{\infty} \lim {n \rightarrow \infty} f_n(x) \mathrm{d} x=0 .
$$
To establish a ‘good’ notion of convergence, that allows the passage to the limit, when we take the integral of the considered sequence, and that preserves continuity, we introduce the fundamental notion of uniform convergence.
Definition 2.6. If $\left(f_n\right)$ is a sequence of functions defined on the interval $I$, then $f_n$ converges uniformly to the function $f$ if, for any $\varepsilon>0$, there exists $n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ such that, for $n \in \mathbb{N}, n>n_{\varepsilon}$, it holds:
$$
\sup _{x \in I}\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon .
$$
Uniform convergence is denoted by:
$$
f_n \stackrel{I}{\rightrightarrows} f .
$$

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Series of functions

The process of transformation of a sequence of real numbers into an infinite series works, also, when extending sequences of functions into series of functions.
Definition 2.25. The series of functions:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_m(x)+\cdots \cdots
$$
converges in $[a, b]$, if the sequence of its partial sums:
$$
s_n(x)=\sum_{k=1}^n f_k(x)
$$
converges in $[a, b]$. The same result applies to uniform convergence, that is, if $(2.10)$ converges uniformly in $[a, b]$, then $(2.9)$ converges uniformly in $[a, b]$.
Remark 2.26. Defining $r_n(x):=f(x)-f_n(x)$, then (2.9) converges uniformly in $[a, b]$ if, for any $\varepsilon>0$, there exists $n_{\varepsilon}$ such that:
$$
\sup {x \in[a, b]}\left|r_n(x)\right|<\varepsilon, \quad \text { for any } n>n{\varepsilon} .
$$
The following Theorem 2.27, due to Weierstrass, establishes a sufficient condition to ensure the uniform convergence of a series of functions.

Theorem $2.27$ (Weierstrass M-Test). Let $\left(f_n\right)$ be a sequence of functions defined on $[a, b]$. Assume that for any $n \in \mathbb{N}$, there exists $M_n \in \mathbb{N}$ such that $\left|f_n(x)\right| \leq M_n$ for any $x \in[a, b]$. Moreover, assume convergence for the numerical series:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} M_n .
$$
Then (2.9) converges uniformly in $[a, b]$.

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FINANCE762

金融数值计算代写


金融代写|金融数值计算代写市场风险,金融的数值分析代考|均匀收敛


一般来说,点收敛不允许极限运算符和积分运算符之间的互换,我们称这种可能性为趋近极限,我们在$\S 8.10$中也提到了这种可能性。为了解释它,考虑函数序列:
$$
f_n(x)=n e^{-n^2 x^2}
$$
定义在$[0, \infty)$;它是一个明显收敛于零函数的序列。使用替换$n x=y$,对$f_n$的积分求值得到:
$$
\int_0^{\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} e^{-y^2} \mathrm{~d} y .
$$
我们还没有工具来求上面等式左边的积分(但我们很快就会),但很明显它是一个正实数,所以我们有:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^{\infty} f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^{\infty} e^{-y^2} \mathrm{~d} y=\alpha>0 \neq \int_0^{\infty} \lim {n \rightarrow \infty} f_n(x) \mathrm{d} x=0 .
$$
为了建立一个’好的’收敛概念,当我们对考虑的序列求积分时,允许通过极限,并保持连续性,我们引入了一致收敛的基本概念。
定义如果$\left(f_n\right)$是定义在区间$I$上的函数序列,那么$f_n$一致收敛于函数$f$,如果,对于任何$\varepsilon>0$,存在$n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$,使得,对于$n \in \mathbb{N}, n>n_{\varepsilon}$,它成立:
$$
\sup _{x \in I}\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon .
$$
一致收敛表示为:
$$
f_n \stackrel{I}{\rightrightarrows} f .
$$

金融代写|金融数值计算代写市场风险,金融数值分析代考|功能系列

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将实数序列转换为无穷级数的过程也可以,当将函数序列扩展为函数序列时也是如此。
定义如果其部分和的序列
$$
s_n(x)=\sum_{k=1}^n f_k(x)
$$
收敛于$[a, b]$,则函数系列:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_m(x)+\cdots \cdots
$$
收敛于$[a, b]$。相同的结果也适用于一致收敛,即如果$(2.10)$在$[a, b]$上一致收敛,则$(2.9)$在$[a, b]$上一致收敛。定义$r_n(x):=f(x)-f_n(x)$,则(2.9)一致收敛于$[a, b]$,如果,对于任何$\varepsilon>0$,存在$n_{\varepsilon}$,使:
$$
\sup {x \in[a, b]}\left|r_n(x)\right|<\varepsilon, \quad \text { for any } n>n{\varepsilon} .
$$
根据Weierstrass定理2.27建立了一个充分条件,保证一系列函数一致收敛

定理$2.27$ (Weierstrass M-Test)。设$\left(f_n\right)$是在$[a, b]$上定义的函数序列。假设对于任何$n \in \mathbb{N}$,都存在$M_n \in \mathbb{N}$,这样对于任何$x \in[a, b]$,都存在$\left|f_n(x)\right| \leq M_n$。此外,假设数值级数收敛:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} M_n .
$$
则(2.9)在$[a, b]$一致收敛

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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