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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Binomial series

The role of the so-called binomial series is pivotal. Let us recall the binomial formula (2.39). If $n \in \mathbb{N}$ and $x \in \mathbb{R}$ then:
$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) x^k,$$
where the binomial coefficient is defined as:
$$\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdots \cdots(n-k+1)}{k !} .$$
Observe that the left-hand side of $(2.40)$ does not require the numerator to be a natural number. Therefore, if $\alpha \in \mathbb{R}$ and if $n \in \mathbb{N}$, the generalised binomial coefficient is defined as:
$$\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)=\frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots \cdots(\alpha-n+1)}{n !} .$$
From (2.41) a useful property of the generalised binomial coefficient can be inferred, and later used to expand in power series the function $f(x)=(1+x)^\alpha$.
Proposition 2.51. For any $\alpha \in \mathbb{R}$ and any $n \in \mathbb{N}$, the following identity holds:
$$n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n+1 \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right) .$$
Proof. The thesis follows from a straightforward computation:
\begin{aligned} n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n+1 \end{array}\right) &=n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1) \frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)}{(n+1) !} \ &=n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+\frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)}{n !} \ &=n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(\alpha-n) \frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} \ &=n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(\alpha-n)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right) . \end{aligned}

## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|The error function

We present here an example on how to deal with power series expansion of a function, which has great importance in Probability theory. In Statistics, it is fundamental to deal with the following definite integral:
$$F(x)=\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t .$$
The main issue with the integral (2.52) is that it is not possible to express it by means of the known elementary functions [39]. On the other hand, some probabilistic applications require to know, at least numerically, the values of the function introduced in (2.52). A way to achieve this goal is integrating by series. Using the power series for the exponential function, it is possible to write:
$$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{t^{2 n}}{n !} .$$
Since the power series is uniformly convergent, we can invoke Theorem $2.15$ and transform the integral (2.52) into a series as:
$$\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_0^x \frac{t^{2 n}}{n !} \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} .$$
The error function, used in Statistics, is defined in the following way:
$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t .$$
Our previous argument, which led to equation (2.53), shows that the power series expansion of the error function, introduced in (2.54), is
$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} .$$
Notice that from Theorem $2.38$ it follows that the radius of convergence of the power series (2.55) is infinite.

# 金融数值计算代写

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|二项式系列

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) x^k,$$

$$\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdots \cdots(n-k+1)}{k !} .$$

$$\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)=\frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots \cdots(\alpha-n+1)}{n !} .$$

$$n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n+1 \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right) .$$

\begin{aligned} n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n+1 \end{array}\right) &=n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+(n+1) \frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)}{(n+1) !} \ &=n\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)+\frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)}{n !} \ &=n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(\alpha-n) \frac{\alpha \cdot(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} \ &=n\left(\begin{array}{l} \alpha \ n \end{array}\right)+(\alpha-n)\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right) . \end{aligned}

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|错误函数

$$F(x)=\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t .$$积分(2.52)的主要问题是不可能用已知的初等函数[39]来表示它。另一方面，一些概率应用要求至少在数字上知道(2.52)中引入的函数的值。实现这一目标的一种方法是级数积分。使用指数函数的幂级数，可以写成:
$$e^{-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{t^{2 n}}{n !} .$$由于幂级数是一致收敛的，我们可以使用定理 $2.15$ 并将积分(2.52)转换为如下级数:
$$\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_0^x \frac{t^{2 n}}{n !} \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} .$$
error函数，在统计学中使用，定义如下:
$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \mathrm{~d} t .$$我们前面的参数(引出式(2.53))表明(2.54)中引入的误差函数的幂级数展开为
$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n !} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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