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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|Generating Values from an Arbitrary Distribution
The cumulative density function $F(X)$, where $X$ is either discrete or continuous, can be used to generate values drawn from the underlying discrete or continuous distribution $p\left(X_{d}\right)$ or $f\left(X_{c}\right)$, as illustrated in Figure 1.2. Consider a discrete random variable $X_{d}$ that takes on values $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ with probabilities $p\left(x_{i}\right)$. By definition, $F\left(x_{k}\right)=F\left(x_{k-1}\right)+p\left(x_{k}\right)$. Moreover, $F\left(X_{d}\right)$ always lies in the range $[0,1]$. Therefore, if we were to generate a random number $u$ with uniform probability in the range $[0,1]$, the probability that $u$ lies in the range $\left[F\left(x_{k-1}\right), F\left(x_{k}\right)\right]$ is $p\left(x_{k}\right)$. Moreover, $x_{k}=F^{-1}(u)$. Therefore, the procedure to generate values from the discrete distribution $p\left(X_{d}\right)$ is as follows: First, generate a random variable $u$ uniformly in the range $[0,1]$; second, compute $x_{k}=F^{-1}(u)$.
We can use a similar approach to generate values from a continuous random variable $X_{c}$ with associated density function $f\left(X_{c}\right)$. By definition, $F(x+\delta)=F(x)+$ $f(x) \delta$ for very small values of $\delta$. Moreover, $F\left(X_{c}\right)$ always lies in the range $[0,1]$. Therefore, if we were to generate a random number $u$ with uniform probability in the range $[0,1]$, the probability that $u$ lies in the range $[F(x), F(x+\delta)]$ is $f(x) \delta$, which means that $x=F^{-1}(u)$ is distributed according to the desired density function $f\left(X_{c}\right.$ ). Therefore, the procedure to generate values from the continuous distribution $f\left(X_{c}\right)$ is as follows: First, generate a random variable $u$ uniformly in the range $[0,1]$; second, compute $x=F^{-1}(u) .$
电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|Moments and Moment Generating Functions
Thus far, we have focused on elementary concepts of probability. To get to the next level of understanding, it is necessary to dive into the somewhat complex topic of moment generating functions. The moments of a distribution generalize its mean and variance. In this section, we will see how we can use a moment generating function (MGF) to compactly represent all the moments of a distribution. The moment generating function is interesting not only because it allows us to prove some useful results, such as the central limit theorem but also because it is similar in form to the Fourier and Laplace transforms, discussed in Chapter $5 .$
The moments of a distribution are a set of parameters that summarize it. Given a random variable $X$, its first moment about the origin, denoted $M_{0}^{1}$, is defined to be $E[X]$. Its second moment about the origin, denoted $M_{0}^{2}$, is defined as the expected value of the random variable $X^{2}$, or $E\left[X^{2}\right]$. In general, the $r$ th moment of $X$ about the origin, denoted $M_{0}^{r}$, is defined as $M_{0}^{r}=E\left[X^{r}\right]$.
We can similarly define the $r$ th moment about the mean, denoted $M_{\mu}^{r}$, by $E[(X-$ $\left.\mu)^{r}\right]$. Note that the variance of the distribution, denoted by $\sigma^{2}$, or $V[X]$, is the same as $M_{\mu}^{2}$. The third moment about the mean, $M_{\mu}^{3}$, is used to construct a measure of skewness, which describes whether the probability mass is more to the left or the right of the mean, compared to a normal distribution. The fourth moment about the mean, $M_{\mu}^{4}$, is used to construct a measure of peakedness, or kurtosis, which measures the “width” of a distribution.
The two definitions of a moment are related. For example, we have already seen that the variance of $X$, denoted $V[X]$, can be computed as $V[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}$. Therefore, $M_{\mu}^{2}=M_{0}^{2} \quad\left(M_{0}^{1}\right)^{2}$. Similar relationships can be found between the higher moments by writing out the terms of the binomial expansion of $(X-\mu)^{r}$.
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电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|Generating Values from an Arbitrary Distribution
累积密度函数 $F(X)$ ，在哪里 $X$ 是离散的或连续的，可用于生成从底层离散或连续分布中提取的值 $p\left(X_{d}\right)$ 或者 $f\left(X_{c}\right)$ ，如图 $1.2$ 所示。考虑一个离散随机变量 $X_{d}$ 具有价值观 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 有概率 $p\left(x_{i}\right)$. 根据定义， $F\left(x_{k}\right)=F\left(x_{k-1}\right)+p\left(x_{k}\right)$. 而且， $F\left(X_{d}\right)$ 总是在范围内 $[0,1]$. 因此，如果我们要生成一个随机数 $u$ 在范围内 具有均匀概率 $[0,1]$, 的概率 $u$ 位于范围内 $\left[F\left(x_{k-1}\right), F\left(x_{k}\right)\right]$ 是 $p\left(x_{k}\right)$. 而且， $x_{k}=F^{-1}(u)$. 因此，从离散分布生成值的过程 $p\left(X_{d}\right)$ 如下: 首先，生成一个随机变量 $u$ 均匀地在范围内 $[0,1]$; 二、计算 $x_{k}=F^{-1}(u)$.
俄们可以使用类似的方法从连续随机变量中生成值 $X_{c}$ 具有相关的密度函数 $f\left(X_{c}\right)$. 根据定义， $F(x+\delta)=F(x)+f(x) \delta$ 对于非常小的值 $\delta$. 而且， $F\left(X_{c}\right)$ 总是在 范围内 $[0,1]$. 因此，如果我们要生成一个随机数 $u$ 在范围内具有均匀概率 $[0,1]$ ，的概率 $u$ 位于范围内 $[F(x), F(x+\delta)]$ 是 $f(x) \delta$ ，意思就是 $x=F^{-1}(u)$ 根据所需的 密度函数分布 $f\left(X_{c}\right)$ 。因此，从连续分布生成值的过程 $f\left(X_{c}\right)$ 如下: 首先，生成一个随机变旺 $u$ 均匀地在范围内 $[0,1]$ 二、计算 $x=F^{-1}(u)$.
电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|Moments and Moment Generating Functions
到目前为止，我们关注的是概率的基本概念。为了达到更高层次的理解，有必要深入研究矩生成函数这个有点复杂的话题。分布的矩概括了它的均值和方差。在本 节中，我们将了解如何使用矩生成函数 (MGF) 紧凑地表示分布的所有矩。矩生成函数很有趣，不仅因为它允许我们证明一些有用的结果，例如中心极限定理，还 因为它在形式上类似于第 1 章中讨论的傅里叶和拉普拉斯变换 5 .
分布的矩是一组总结它的参数。给定一个随机变量 $X$ ，它关于起源的第一个时刻，表示 $M_{0}^{1}$ ，定义为 $E[X]$. 它关于起源的第二个时刻，表示 $M_{0}^{2}$, 定义为随机变量的 期望值 $X^{2}$ ，或者 $E\left[X^{2}\right]$. 一般来说， $r$ 时刻 $X$ 关于起源，表示 $M_{0}^{r}$ ，定义为 $M_{0}^{r}=E\left[X^{r}\right]$.
我们可以类似地定义 $r$ 关于均值的时刻，表示 $M_{\mu}^{r}$ ，经过 $E\left[(X-\mu)^{r}\right]$. 请注意，分布的方差，表示为 $\sigma^{2}$ ，或者 $V[X]$ ，是相同的 $M_{\mu}^{2}$. 关于平均值的第三个时刻， $M_{\mu}^{3}$, 用于构建偏度度量，它描述与正态分布相比，概率质量是更偏向均值的左侧还是右侧。关于均值的第四个时刻， $M_{\mu}^{4}$, 用于构建峰度或峰度的度量，用于度量 分布的“宽度”。
时刻的两个定义是相关的。例如，我们已经看到方差 $X$ ，表示 $V[X]$ ，可以计算为 $V[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}$. 所以， $M_{\mu}^{2}=M_{0}^{2}\left(M_{0}^{1}\right)^{2}$. 通过写出 $(X-\mu)^{r}$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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