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期权定价理论通过分配一个价格,也就是溢价,根据计算出的合同在到期时完成货币(ITM)的概率来估计期权合同的价值。

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金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|MATH1203

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|INFINITESIMAL PRICE MOVEMENTS

(i) Let us return to equation (3.7) for the stock price evolution, and consider only small time intervals $\delta t$. We may write that equation as
$$
S_t+\delta S_t=S_t \mathrm{e}^{m \delta t+\sigma \delta W_t} \quad \text { where } \quad \delta W_t=\sqrt{\delta t} z_{\delta t}
$$
We are dealing with small time periods and small price changes so that we may use the standard expansion $\mathrm{e}^a=1+a+\frac{1}{2 !} a^2+\cdots$ in the last equation, giving
$$
S_t+\delta S_t=S_t\left{1+\left(m \delta t+\sigma \delta W_t\right)+\frac{1}{2}\left(m \delta t+\sigma \delta W_t\right)^2+\cdots\right}
$$
Normally, one might expect to drop the squared and higher terms in this equation; but recall the definition $\delta W_t=\sqrt{\delta t} z_{\delta t}$. The term $z_{\delta t}$ is a standard normal variate, taking the values $-1$ to $+1$ for about $67 \%$ of the time; values $-2$ to $+2$ for about $95 \%$ of the time; values $-3$ to $+3$ for about $99.5 \%$ of the time, etc. $\delta W_t$ is therefore not of the same order as $\delta t$ (written $\mathrm{O}[\delta t]$ ); it is $\mathrm{O}[\sqrt{\delta t}]$. To be consistent in the last equation then, we need to retain terms up to $\delta t$ together with terms up to $\delta W_t^2$. This gives us
$$
\frac{\delta S_t}{S_t}=m \delta t+\sigma \delta W_t+\frac{1}{2} \sigma^2 \delta W_t^2
$$
(ii) An appreciation of the significance of the last term in this equation is obtained by analyzing the following expectations and variances of powers of $\delta W_t$. First, recall from Appendix A.1(ii) that the moment generating function for a standard normal distribution is $\mathrm{M}[\Theta]=\mathrm{e}^{\Theta^2 / 2}$; the
$$
\begin{gathered}
\mathrm{E}\left[\delta W_t\right]=\sqrt{\delta t} \mathrm{E}\left[z_{\delta t}\right]=0 \
\operatorname{var}\left[\delta W_t\right]=\mathrm{E}\left[\delta W_t^2\right]=\delta t \mathrm{E}\left[z_{\delta t}^2\right]=\delta t \
\operatorname{var}\left[\delta W_t^2\right]=\mathrm{E}\left[\delta W_t^4\right]-\mathrm{E}^2\left[\delta W_t^2\right]=\delta t^2 \mathrm{E}\left[z_{\delta t}^4\right]-\delta t^2=2 \delta t^2
\end{gathered}
$$
The quantity $\delta W_t^2$ has expected value $\delta t$ and variance proportional to $\delta t^2$. Thus as $\delta t \rightarrow 0$ the variance of $\delta W_t^2$ approaches zero much faster than $\delta t$ itself. But as the variance of $\delta W_t^2$ approaches zero, $\delta W_t^2$ approaches its expected value with greater and greater certainty, i.e. it ceases to behave like a random variable at all. This permits us to make the substitution
$$
\lim _{\delta t \rightarrow 0} \delta W_t^2 \rightarrow \mathrm{E}\left[\delta W_t^2\right]=\delta t
$$

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|ITO’S LEMMA

In the last section it was seen that an infinitesimal stock price movement $\delta S_t$ in an infinitesimal time interval $\delta t$ could be described by the Wiener process $\delta S_t=S_t(\mu-q) \delta t+S_t \sigma \delta W_t$. A more generalized Wiener process (also known as an Ito process) can be written
$$
\delta S_t=a_{S_t t} \delta t+b_{S_t t} \delta W_t
$$
where $a_{S_t t}$ and $b_{S_t t}$ are now functions of both $S_t$ and $t$. Consider any function $f_{S_t t}$ of $S_t$ and $t$, which is reasonably well behaved (i.e. adequately differentiable with respect to $S_t$ and $t$ ). Taylor’s theorem states that
$$
\delta f_t=\frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta S_t+\frac{\partial f_t}{\partial t} \delta t+\frac{1}{2}\left{\frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2} \delta S_t^2+\frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t \partial t} \delta S_t \delta t+\frac{\partial^2 f_t}{\partial t^2} \delta t^2\right}+\cdots
$$
where the subscript notation has been lightened a little for the sake of legibility. Substitute for $S_t$ from the generalized Wiener process and retain only terms of order $\delta t$ or lower, remembering that $\delta W_t \sim \mathrm{O}[\sqrt{\delta t}]$ :
$$
\delta f_t=\frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta S_t+\frac{\partial f_t}{\partial t} \delta t+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2} b_t^2 \delta W_t^2
$$
Put $\delta W_t^2 \rightarrow \delta t$ as explained in Section 3.3, to give
$$
\delta f_t=\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+a_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2} b_t^2 \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2}\right) \delta t+b_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta W_t
$$
This result is known as Ito’s lemma and is one of the cornerstones of option theory. It basically says that if $f_t$ is any well-behaved function of an Ito process and of time, then $f_t$ itself follows an Ito process. The function of particular interest in this book is the price of a derivative.
In the case of the simple Wiener process of equation (3.9), Ito’s lemma becomes
$$
\delta f_t=\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+(\mu-q) S_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2}\right) \delta t+\sigma S_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta W_t
$$

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|MATH1203

期权理论代写

金融代写|期权理论代写期权数学介绍代考|INFINITESIMAL PRICE moves

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让我们回到公式(3.7)对股票价格的演变,只考虑小的时间间隔 $\delta t$。我们可以把这个方程写成
$$
S_t+\delta S_t=S_t \mathrm{e}^{m \delta t+\sigma \delta W_t} \quad \text { where } \quad \delta W_t=\sqrt{\delta t} z_{\delta t}
$$我们正在处理小的时间段和小的价格变化,所以我们可以使用标准展开 $\mathrm{e}^a=1+a+\frac{1}{2 !} a^2+\cdots$ 在上一个方程中,给出
$$
S_t+\delta S_t=S_t\left{1+\left(m \delta t+\sigma \delta W_t\right)+\frac{1}{2}\left(m \delta t+\sigma \delta W_t\right)^2+\cdots\right}
$$通常,人们可能期望在这个方程中去掉平方项和更高的项;但是回想一下定义 $\delta W_t=\sqrt{\delta t} z_{\delta t}$。这个术语 $z_{\delta t}$ 标准正态变量,取这些值吗 $-1$ 到 $+1$ 大约 $67 \%$ 时间的;价值观 $-2$ 到 $+2$ 大约 $95 \%$ 时间的;价值观 $-3$ 到 $+3$ 大约 $99.5 \%$ 时间的,等等。 $\delta W_t$ 因此,与 $\delta t$ (书面) $\mathrm{O}[\delta t]$ );是的 $\mathrm{O}[\sqrt{\delta t}]$。为了在上一个方程中保持一致,我们需要保留到 $\delta t$ 连同条款至 $\delta W_t^2$。得到
$$
\frac{\delta S_t}{S_t}=m \delta t+\sigma \delta W_t+\frac{1}{2} \sigma^2 \delta W_t^2
$$(ii)通过分析下列期望和幂的方差,可以了解这个方程中最后一项的显著性 $\delta W_t$。首先,回顾附录a .1(ii),标准正态分布的矩产生函数为 $\mathrm{M}[\Theta]=\mathrm{e}^{\Theta^2 / 2}$;
$$
\begin{gathered}
\mathrm{E}\left[\delta W_t\right]=\sqrt{\delta t} \mathrm{E}\left[z_{\delta t}\right]=0 \
\operatorname{var}\left[\delta W_t\right]=\mathrm{E}\left[\delta W_t^2\right]=\delta t \mathrm{E}\left[z_{\delta t}^2\right]=\delta t \
\operatorname{var}\left[\delta W_t^2\right]=\mathrm{E}\left[\delta W_t^4\right]-\mathrm{E}^2\left[\delta W_t^2\right]=\delta t^2 \mathrm{E}\left[z_{\delta t}^4\right]-\delta t^2=2 \delta t^2
\end{gathered}
$$
数量 $\delta W_t^2$ 具有预期价值 $\delta t$ 方差正比于 $\delta t^2$。从而为 $\delta t \rightarrow 0$ 的方差 $\delta W_t^2$ 接近零的速度比 $\delta t$ 本身。的方差 $\delta W_t^2$ 趋于零, $\delta W_t^2$ 以越来越大的确定性接近其期望值,即它不再表现得像一个随机变量。这允许我们进行替换
$$
\lim _{\delta t \rightarrow 0} \delta W_t^2 \rightarrow \mathrm{E}\left[\delta W_t^2\right]=\delta t
$$

金融代写|期权理论代写Options数学介绍代考|ITO ‘S LEMMA

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在上一节中,可以看到在无穷小的时间间隔$\delta t$内的无穷小的股价运动$\delta S_t$可以用维纳过程$\delta S_t=S_t(\mu-q) \delta t+S_t \sigma \delta W_t$来描述。更广义的维纳过程(也称为Ito过程)可以写成
$$
\delta S_t=a_{S_t t} \delta t+b_{S_t t} \delta W_t
$$
,其中$a_{S_t t}$和$b_{S_t t}$现在是$S_t$和$t$的函数。考虑$S_t$和$t$的任何函数$f_{S_t t}$,它表现得相当好(即对$S_t$和$t$可充分微分)。泰勒定理指出
$$
\delta f_t=\frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta S_t+\frac{\partial f_t}{\partial t} \delta t+\frac{1}{2}\left{\frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2} \delta S_t^2+\frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t \partial t} \delta S_t \delta t+\frac{\partial^2 f_t}{\partial t^2} \delta t^2\right}+\cdots
$$
,为了便于阅读,下标符号略去了一些。将广义维纳过程中的$S_t$替换为$\delta t$或更低阶项,记住$\delta W_t \sim \mathrm{O}[\sqrt{\delta t}]$:
$$
\delta f_t=\frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta S_t+\frac{\partial f_t}{\partial t} \delta t+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2} b_t^2 \delta W_t^2
$$
将$\delta W_t^2 \rightarrow \delta t$如3.3节中解释的那样放置,得到
$$
\delta f_t=\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+a_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2} b_t^2 \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2}\right) \delta t+b_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta W_t
$$
这个结果被称为伊藤引理,是期权理论的基石之一。它的基本意思是,如果$f_t$是一个伊藤过程和时间的良好函数,那么$f_t$本身就遵循一个伊藤过程。本书特别感兴趣的函数是衍生品的价格。在方程(3.9)的简单维纳过程的情况下,伊藤引理变为
$$
\delta f_t=\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+(\mu-q) S_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 f_t}{\partial S_t^2}\right) \delta t+\sigma S_t \frac{\partial f_t}{\partial S_t} \delta W_t
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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