Partial fractions and convolution are two common methods for finding the inverse of the Laplace transform $F(s)$. In many instances these methods fail simply because of the complexity of the transform to be inverted. In this section we shall show how we can invert transforms through the powerful method of contour integration. Of course, the student must be proficient in the use of complex variables.

Consider the piece-wise differentiable function $f(x)$, which vanishes for $x<0$. We can express the function $e^{-c x} f(x)$ by the complex Fourier representation of
$$
f(x) e^{-c x}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega x}\left[\int_{0}^{\infty} e^{-c t} f(t) e^{-i \omega t} d t\right] d \omega,
$$
for any value of the real constant $c$, where the integral
$$
I=\int_{0}^{\infty} e^{-c t}|f(t)| d t
$$
exists. By multiplying both sides of Equation 2.2.1 by $e^{c x}$ and bringing it inside the first integral,
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{(c+\omega i) x}\left[\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-(c+\omega i) t} d t\right] d \omega .
$$
With the substitution $z=c+\omega i$, where $z$ is a new, complex variable of integration,
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-\infty i}^{c+\infty i} e^{z x}\left[\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-z t} d t\right] d z
$$
The quantity inside the square brackets is the Laplace transform $F(z)$. Therefore, we can express $f(t)$ in terms of its transform by the complex contour integral

数学代写|matlab代写|THE SOLUTION OF THE WAVE EQUATION BY USING LAPLACE TRANSFORMS

The solution of linear partial differential equations by Laplace transforms is the most commonly employed analytic technique after separation of variables. Because the transform consists solely of an integration with respect to time, the transform $U(x, s)$ of the solution of the wave equation $u(x, t)$ is
$$
U(x, s)=\int_{0}^{\infty} u(x, t) e^{-s t} d t
$$ assuming that the wave equation only varies in a single spatial variable $x$ and time $t$.
Partial derivatives involving time have transforms similar to those that we encountered in the case of functions of a single variable. They include
$$
\mathcal{L}\left[u_{t}(x, t)\right]=s U(x, s)-u(x, 0),
$$
and
$$
\mathcal{L}\left[u_{t t}(x, t)\right]=s^{2} U(x, s)-s u(x, 0)-u_{t}(x, 0) .
$$
These transforms introduce the initial conditions via $u(x, 0)$ and $u_{t}(x, 0)$. On the other hand, derivatives involving $x$ become
$$
\mathcal{L}\left[u_{x}(x, t)\right]=\frac{d}{d x}{\mathcal{L}[u(x, t)]}=\frac{d U(x, s)}{d x},
$$
and
$$
\mathcal{L}\left[u_{x x}(x, t)\right]=\frac{d^{2}}{d x^{2}}{\mathcal{L}[u(x, t)]}=\frac{d^{2} U(x, s)}{d x^{2}} .
$$
Because the transformation eliminates the time variable, only $U(x, s)$ and its derivatives remain in the equation. Consequently, we transform the partial differential equation into a boundary-value problem involving an ordinary differential equation. Because this equation is often easier to solve than a partial differential equation, the use of Laplace transforms considerably simplifies the original problem. Of course, the Laplace transforms must exist for this technique to work.

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数学代写|matlab代写|INVERSION OF LAPLACE TRANSFORMS BY CONTOUR INTEGRATION

部分分数和卷积是求拉普拉斯变换逆的两种常用方法 $F(s)$. 在许多情况下，这些方法仅仅因为要反转的变换的复杂性而失败。在本节中，我们将展示如何通过强大的轮廓积分方法进行变换。当然，学生必须精通复变量的使用。
考虑分段可微函数 $f(x)$ ，消失为 $x<0$. 我们可以表达函数 $e^{-c x} f(x)$ 通过复数傅里叶表示
$$
f(x) e^{-c x}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega x}\left[\int_{0}^{\infty} e^{-c t} f(t) e^{-i \omega t} d t\right] d \omega,
$$
对于实常数的任何值 $c$, 其中积分
$$
I=\int_{0}^{\infty} e^{-c t}|f(t)| d t
$$
存在。将等式 2.2.1 的两边乘以 $e^{c x}$ 并将其带入第一个积分，
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{(c+\omega i) x}\left[\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-(c+\omega i) t} d t\right] d \omega .
$$
随着替换 $z=c+\omega i$ ，在哪里 $z$ 是一个新的、复杂的积分变量，
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-\infty i}^{c+\infty i} e^{z x}\left[\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-z t} d t\right] d z
$$
方括号内的量是拉普拉斯变换 $F(z)$. 因此，我们可以表达 $f(t)$ 就其通过复轮廓积分的变换而言

数学代写|matlab代写|THE SOLUTION OF THE WAVE EQUATION BY USING LAPLACE TRANSFORMS

拉普拉斯变换求解线性偏微分方程是变量分离后最常用的分析技术。因为变换仅包含关于时间的积分，所以变换 $U(x, s)$ 波动方程的解 $u(x, t)$ 是
$$
U(x, s)=\int_{0}^{\infty} u(x, t) e^{-s t} d t
$$
假设波动方程仅在单个空间变量中变化 $x$ 和时间 $t$.
涉及时间的偏导数的变换类似于我们在单变量函数的情况下遇到的变换。他们包括
$$
\mathcal{L}\left[u_{t}(x, t)\right]=s U(x, s)-u(x, 0),
$$
和
$$
\mathcal{L}\left[u_{t t}(x, t)\right]=s^{2} U(x, s)-s u(x, 0)-u_{t}(x, 0) .
$$
这些变换通过以下方式引入初始条件 $u(x, 0)$ 和 $u_{t}(x, 0)$. 另一方面，衍生品涉及 $x$ 变得
$$
\mathcal{L}\left[u_{x}(x, t)\right]=\frac{d}{d x} \mathcal{L}[u(x, t)]=\frac{d U(x, s)}{d x},
$$
$$
\mathcal{L}\left[u_{x x}(x, t)\right]=\frac{d^{2}}{d x^{2}} \mathcal{L}[u(x, t)]=\frac{d^{2} U(x, s)}{d x^{2}} .
$$
因为变换消除了时间变量，只有 $U(x, s)$ 并且它的导数保留在等式中。因此，我们将偏微分方程转化为一个涉及常微分方程的边值问题。因为这个方程通常比偏微分方程更容易求解，所以拉普拉斯变换的使用大大简化了原始问题。当然，拉普拉斯变换必须存在才能使这种技术发挥作用。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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