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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Composite Moduli and the Jacobi Symbol

We shall finish this chapter by briefly considering the theory of quadratic residues and quadratic reciprocity for moduli which are not necessarily prime. We begin with

Definition 7.3. Suppose that $m$ and $n$ are relatively prime integers with $n$ a positive odd number. Suppose that $n$ ‘s prime factorization is $n=p_1 \cdots p_s$, where the primes $p_i$ are not necessarily distinct. Then the Jacobi symbol $\left(\frac{m}{n}\right)$ is defined by
$$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod_{j=1}^s\left(\frac{m}{p_j}\right),$$
where $\left(\frac{m}{p_j}\right)$ is the Legendre symbol.
Two natural questions arise from this definition:
(i) Can the Jacobi symbol $\left(\frac{m}{n}\right)$ be used to determine whether $m$ is a quadratic residue or a quadratic non-residue modulo $n$ ?
(ii) Does the Jacobi symbol satisfy a “generalized quadratic reciprocity?”

The answer to (ii) is “yes” provided that we restrict $m$, like $n$, to be positive and odd. The answer to (i) is also “yes,” but in a somewhat more complicated way than for the Legendre symbol. We now state these results without proof.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Greatest Integer Function

We begin with the greatest integer function, which was defined in Chapter 7 and used there to study quadratic residues. For completeness, we repeat its definition here.

Definition 8.1. For any real number $x$, the symbol $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to the value $x$.
For example, $[6]=6,[4 / 3]=1$, and $[-3.5]=-4$.
In the following lemma, we provide a few basic results concerning the greatest integer function.

Lemma 8.1. Let $x$ and $y$ be real numbers. Then the following properties hold:
(a) $[x] \leq x<[x]+1, x-1<[x] \leq x, 0 \leq x-[x]<1$,
(b) $[x]=\sum_{1 \leq i \leq x} 1$ if $x \geq 0$,
(c) $[x+m]=[x]+m$ if $m$ is an integer,
(d) $[x]+[y] \leq[x+y] \leq[x]+[y]+1$.
Proof. The first statement of Part (a) is just the definition of $[x]$; the other two statements are simply rearrangements of the first statement.

For Part (b), if $0 \leq x<1$, the sum is empty and hence has value 0 . For $x \geq 1$, the sum counts the set of positive integers $i$ which are less than or equal to $x$, which is exactly the value $[x]$.
Part (c) follows from the definition of $[x]$.
For Part (d) we write $x=n+v, y=m+u$, where $n$ and $m$ are integers and $0 \leq v<1,0 \leq u<1$. Then we have
$$\begin{gathered} {[x]+[y]=n+m \leq[n+v+m+u]=n+m+[v+u] \leq} \ n+m+1=[x]+[y]+1 . \square \end{gathered}$$

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写数论代考|复合模和Jacobi符号

7.3.

$$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod_{j=1}^s\left(\frac{m}{p_j}\right),$$

(i) Jacobi符号$\left(\frac{m}{n}\right)$能否用来确定$m$是二次剩余模还是二次非剩余模$n$
(ii) Jacobi符号是否满足“广义二次互易”?

(ii)的答案是“是”，前提是我们像$n$一样将$m$限制为正奇数。(i)的答案也是“是”，但其方式比Legendre符号更复杂。我们现在没有证据地陈述这些结果

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Greatest Integer Function

8.1.

(a) $[x] \leq x<[x]+1, x-1<[x] \leq x, 0 \leq x-[x]<1$，
(b) $[x]=\sum_{1 \leq i \leq x} 1$如果$x \geq 0$，
(c) $[x+m]=[x]+m$如果$m$是整数，
(d) $[x]+[y] \leq[x+y] \leq[x]+[y]+1$ .

(c)根据$[x]$的定义。
(d)部分我们写$x=n+v, y=m+u$，其中$n$和$m$是整数和$0 \leq v<1,0 \leq u<1$。然后我们有
$$\begin{gathered} {[x]+[y]=n+m \leq[n+v+m+u]=n+m+[v+u] \leq} \ n+m+1=[x]+[y]+1 . \square \end{gathered}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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