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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|Computing the Legendre Symbol
Theorem $7.2$ tells us important facts about the Legendre symbol. Here we state and prove two theorems which give us new insight into this symbol and new ways to compute it. We first need a lemma which follows from Fermat’s Theorem (Theorem 5.1).
Lemma 7.3. If $p$ is an odd prime and $\operatorname{gcd}(a, p)=1$, then the congruence $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has two solutions or no solutions according as $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$.
Proof. Fermat’s Theorem implies that
$$
\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
Hence we have that $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$. The result now follows from Theorem 7.2 Part (a) and from the remarks directly following Example 7.1.
We now state and prove a theorem which gives us a specific way to compute the Legendre symbol for a given prime modulus $p$ and a given positive integer $a$ for which $\operatorname{gcd}(a, p)=1$.
Theorem 7.4. (Gauss’s Lemma) Let $p$ be an odd prime and let a $b e$ an integer relatively prime to $p$. Consider the set ${a, 2 a, 3 a, \ldots$, $((p-1) / 2) a}(\bmod p)$ of elements of $\mathbb{Z}_p$. If $n$ denotes the number of these elements which are greater than $p / 2$, then $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$.
Proof. Let $r_1, \ldots, r_n$ denote the set of elements that exceed $p / 2$; let $s_1, \ldots, s_k$ denote the set of remaining elements. The $r_i$ and the $s_i$ are clearly distinct, and moreover, none of them is 0 . In addition $n+k=(p-1) / 2$. For $i=1, \ldots, n, 0<p-r_i<p / 2$, and the values $p-r_i$ are distinct.
数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Reciprocity
Suppose $p$ and $q$ are both odd primes. If $q$ is a quadratic residue modulo $p$, is $p$ then a quadratic residue modulo $q$ ? The answer is no, but there is a clear relationship of their “quadratic characters” with respect to each other, and that relationship can be concisely stated in the following famous and elegant result.
Theorem 7.6. (The Gaussian Reciprocity Law) If $p$ and $q$ are distinct odd primes,
$$
\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .
$$
Before proving this result, we simply ask, isn’t this a beautiful result? Let us discuss what, in essence, it tells us about the relationship of $\left(\frac{p}{q}\right)$ and $\left(\frac{q}{p}\right)$ when $p$ and $q$ are distinct odd prime numbers. We know that if an exponent $k$ on $-1$ is even then $(-1)^k=1$;
and if $k$ is odd, then $(-1)^k$ is $-1$. Hence the right-hand side of our theorem’s equation above will be $-1$ only if both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd; otherwise the right-hand side is 1 . We can thus conclude the following:
(1) If both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd, then $\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2) Otherwise, $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.
数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|计算传奇符号
.
定理$7.2$告诉我们关于勒让德符号的重要事实。在这里，我们陈述并证明了两个定理，这两个定理使我们对这个符号有了新的认识，并提供了新的计算方法。我们首先需要费马定理(定理5.1)的引理。
引理7.3。如果$p$是奇素数，$\operatorname{gcd}(a, p)=1$则同余$x^2 \equiv a(\bmod p)$根据$a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$有两个解或无解
证明。费马定理表明
$$
\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
因此我们有$a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$。现在的结果由定理7.2第(a)部分和直接在例7.1之后的注释得出 我们现在陈述并证明一个定理，该定理提供了一种特定的方法来计算给定素数模数$p$和给定正整数$a$的勒让德符号，其中$\operatorname{gcd}(a, p)=1$ .
定理7.4。(高斯引理)设$p$为奇素数，设$b e$为相对于$p$的素数。考虑$\mathbb{Z}_p$元素的集合${a, 2 a, 3 a, \ldots$, $((p-1) / 2) a}(\bmod p)$。如果$n$表示这些元素的个数大于$p / 2$，则$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$ .
证明。设$r_1, \ldots, r_n$表示超出$p / 2$的元素集合;让$s_1, \ldots, s_k$表示剩下的元素集合。$r_i$和$s_i$显然是不同的，而且它们都不为0。另外$n+k=(p-1) / 2$。对于$i=1, \ldots, n, 0<p-r_i<p / 2$，和$p-r_i$值是不同的
数学代写|数论作业代写number theory代考|二次互惠
假设$p$和$q$都是奇素数。如果$q$是$p$的二次余模，那么$p$是不是$q$的二次余模?答案是否定的，但是它们的“二次元特征”彼此之间有一个明确的关系，这种关系可以用下面这个著名而优雅的结果简明地表述出来
定理7.6。(高斯互易定律)如果$p$和$q$是不同的奇素数，
$$
\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .
$$
在证明这个结果之前，我们简单地问，这不是一个美丽的结果吗?让我们讨论一下，当$p$和$q$是不同的奇数素数时，它从本质上告诉我们$\left(\frac{p}{q}\right)$和$\left(\frac{q}{p}\right)$之间的关系是什么。我们知道，如果$-1$上的指数$k$是偶数，则$(-1)^k=1$;
和if $k$ 很奇怪，那么 $(-1)^k$ 是 $-1$。因此定理方程的右边是 $-1$ 只有两者都是 $(p-1) / 2$ 和 $(q-1) / 2$ 都是奇数;否则右边是1。因此，我们可以得出以下结论:
(1)如果两者都是 $(p-1) / 2$ 和 $(q-1) / 2$ 是奇数，那么 $\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2)否则， $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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