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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Computing the Legendre Symbol

Theorem $7.2$ tells us important facts about the Legendre symbol. Here we state and prove two theorems which give us new insight into this symbol and new ways to compute it. We first need a lemma which follows from Fermat’s Theorem (Theorem 5.1).
Lemma 7.3. If $p$ is an odd prime and $\operatorname{gcd}(a, p)=1$, then the congruence $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has two solutions or no solutions according as $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$.
Proof. Fermat’s Theorem implies that
$$\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) .$$
Hence we have that $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$. The result now follows from Theorem 7.2 Part (a) and from the remarks directly following Example 7.1.

We now state and prove a theorem which gives us a specific way to compute the Legendre symbol for a given prime modulus $p$ and a given positive integer $a$ for which $\operatorname{gcd}(a, p)=1$.

Theorem 7.4. (Gauss’s Lemma) Let $p$ be an odd prime and let a $b e$ an integer relatively prime to $p$. Consider the set ${a, 2 a, 3 a, \ldots$, $((p-1) / 2) a}(\bmod p)$ of elements of $\mathbb{Z}_p$. If $n$ denotes the number of these elements which are greater than $p / 2$, then $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$.
Proof. Let $r_1, \ldots, r_n$ denote the set of elements that exceed $p / 2$; let $s_1, \ldots, s_k$ denote the set of remaining elements. The $r_i$ and the $s_i$ are clearly distinct, and moreover, none of them is 0 . In addition $n+k=(p-1) / 2$. For $i=1, \ldots, n, 0<p-r_i<p / 2$, and the values $p-r_i$ are distinct.

Suppose $p$ and $q$ are both odd primes. If $q$ is a quadratic residue modulo $p$, is $p$ then a quadratic residue modulo $q$ ? The answer is no, but there is a clear relationship of their “quadratic characters” with respect to each other, and that relationship can be concisely stated in the following famous and elegant result.

Theorem 7.6. (The Gaussian Reciprocity Law) If $p$ and $q$ are distinct odd primes,
$$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .$$
Before proving this result, we simply ask, isn’t this a beautiful result? Let us discuss what, in essence, it tells us about the relationship of $\left(\frac{p}{q}\right)$ and $\left(\frac{q}{p}\right)$ when $p$ and $q$ are distinct odd prime numbers. We know that if an exponent $k$ on $-1$ is even then $(-1)^k=1$;

and if $k$ is odd, then $(-1)^k$ is $-1$. Hence the right-hand side of our theorem’s equation above will be $-1$ only if both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd; otherwise the right-hand side is 1 . We can thus conclude the following:
(1) If both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd, then $\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2) Otherwise, $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|计算传奇符号

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$$\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) .$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|二次互惠

$$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .$$

(1)如果两者都是 $(p-1) / 2$ 和 $(q-1) / 2$ 是奇数，那么 $\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2)否则， $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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