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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Public Keys and RSA Encryption

6.5. Suppose you wish to use the RSA system to receive secure messages. You pick as your private primes $p=17$ and $q=23$.
(a) Compute your public modulus $n$ and your private $\phi(n)$.
(b) Verify that $\epsilon=5$ is a possible public encrypting exponent by using the Euclidean Algorithm applied to $\phi(n)$ and $e$, and find the decrypting exponent $d$ by running the algorithm backwards.
(Note: It may be helpful to review Theorem $1.3$ and Examples $1.5$ and $3.7$ before proceeding.)
Solution:
(a) $n=17 * 23=391, \phi(391)=\phi(17) \phi(23)=16 * 22=352$.
(b) Running the Euclidean Algorithm forward:
\begin{aligned} 352 &=5(70)+2 \ 5 &=2(2)+1 \end{aligned}
and now backwards:
$$1=5-2(2)=5-2(352-5(70))=5(141)-2(352)$$
Hence $5(141) \equiv 1(\bmod 352)$, so $d=141$.
6.6. In the RSA system in Problem $6.5$, how many different possible encrypting exponents $e$ are there with $1 \leq e<\phi(n)$ ?
Solution:
The encrypting exponent $e$ must be relatively prime to $\phi(17 * 23)=$ $16 * 22=352$, and we know that the number of elements of $\mathbb{Z}_{352}$ which are relatively prime to 352 is $\phi(352)=\phi(32) \phi(11)=16 *$ $10=160$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Quadratic Residues and the Legendre Symbol

Definition 7.1. Assume that the positive integers $a$ and $n$ are relatively prime. The integer $a$ is a quadratic residue modulo $n$ if the congruence $x^2 \equiv a(\bmod n)$ has a solution. If the congruence does not have a solution, $a$ is a quadratic non-residue modulo $n$.
We note that since the concepts of quadratic residue and nonresidue are defined in terms of congruence modulo $n$, it is sufficient to consider only those residues or non-residues which are distinct modulo $n$; that is, we can restrict ourselves to non-zero elements of $\mathbb{Z}_n$, the set of integers modulo $n$ introduced in Chapter 3 .
Example 7.1. In $\mathbb{Z}_5$, we have $1^2=1,2^2=4,3^2=4$, and $4^2=1$, and so 1 and 4 are quadratic residues modulo 5, while 2 and 3 are quadratic non-residues modulo 5 . Similarly in $\mathbb{Z}_7, 1^2=6^2=1$, $2^2=5^2=4$, and $3^2=4^2=2$, so the integers 1,2 , and 4 are quadratic residues, while 3,5 , and 6 are quadratic non-residues modulo 7.

As this example illustrates, if $p$ is an odd prime and if $j \in \mathbb{Z}_p$ is a solution of $x^2 \equiv a(\bmod p)$, then $p-j$ is also a solution, and $p-j \neq j$, for if they were equal, we would have that $p=2 j$, i.e., $p$ would be even. Hence in $\mathbb{Z}_p$ the congruence $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has either two distinct solutions or no solutions.

We now define the Legendre symbol, named in honor of AdrianMarie Legendre (1752 – 1833).

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|公钥与RSA加密

. key – RSA – Encryption

6.5。假设您希望使用RSA系统来接收安全消息。你选择作为你的私人质数 $p=17$ 和 $q=23$.
(a)计算公共模数 $n$ 还有你的私人 $\phi(n)$.
(b)验证 $\epsilon=5$ 是一个可能的公共加密指数，使用欧几里得算法应用于 $\phi(n)$ 和 $e$，求解密指数 $d$ 通过反向运行算法。
(注意:这可能有助于复习定理 $1.3$ 及例子 $1.5$ 和 $3.7$

(a) $n=17 * 23=391, \phi(391)=\phi(17) \phi(23)=16 * 22=352$.
(b)正向运行欧几里得算法:
\begin{aligned} 352 &=5(70)+2 \ 5 &=2(2)+1 \end{aligned}
，现在向后:
$$1=5-2(2)=5-2(352-5(70))=5(141)-2(352)$$

7.1.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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