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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数论作业代写number theory代考|Properties of Congruences
Returning now to congruences, we state in the following lemma some of their properties which will be needed as we move forward. We prove several of the properties and leave the remaining proofs for you to do in Problem $3.3$ and Problem 3.11. The basic proof technique is to translate a statement about congruences into a corresponding equation in the integers and proceed from there.
Lemma 3.1. Let $n \geq 2$ be a fixed integer. Assume that $a \equiv b(\bmod n)$ and that $c \equiv d(\bmod n)$. Then
(i) $a+c \equiv b+d(\bmod n)$;
(ii) $a-c \equiv b-d(\bmod n)$;
(iii) $a c \equiv h d(\bmod n)$;
(iv) If $m$ is an integer, then $m a \equiv m b(\bmod n)$;
(v) If $d$ is a divisor of $n$, then $a \equiv b(\bmod d)$.
Proof. We prove Parts (i), (iii), and (v), leaving proofs of the remaining parts to you. From the assumptions of the lemma, we have that $a-b=n k$ and $c-d=n j$ for some integers $k$ and $j$. To prove Part (i), we calculate
$$
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=n k+n j=n(k+j) .
$$
Since $k+j$ is an integer, we can conclude that $a+c \equiv b+d$ $(\bmod n)$
For Part (iii) we have that $a c=(b+n k)(d+n j)=b d+b n j+d n k+n^{2} k l=b d+n(b j+d k+n k j)$.
Therefore $a c-b d=n(b j+d k+n k j)$ where $b j+d k+n k$ is an integer, and so $a c \equiv b d(\bmod n)$.
数学代写|数论作业代写number theory代考|Doing Division in Zn
To end this chapter, let’s take a closer look at division in the sets $\mathbb{Z}{n}$. In the set of real numbers (i.e., all decimal numbers), we know we can always divide by any non-zero number and get a real number as the answer. For example, if we divide $5.4$ by 2 we get 2.7. We also know, however, that this is not true in the integers $\mathbb{Z}$; for example, 5 divided by 2 is not an integer. Back in the real numbers, another way to describe always being able to divide is to say that every non-zero real number possesses a (unique) multiplicative inverse. For example, in the real numbers the multiplicative inverse of 2 is $1 / 2=0.5$. We note then that dividing by a real number is the same thing as multiplying by its multiplicative inverse; for example, in the real numbers, $5.4$ divided by $2=(5.4)(0.5)=2.7$. We also note that in the integers $\mathbb{Z}$, the only elements possessing multiplicative inverses are 1 and $-1$, so they are the only numbers by which you can always divide in $\mathbb{Z}$. Thinking of division in terms of multiplicative inverses will help us understand what happens in our new sets $\mathbb{Z}{n}$.
We ask then, which elements of $\mathbb{Z}{n}$ possess multiplicative inverses and which do not? Now Lemma $3.2$ tells us the answer in slightly different language: You can always divide by $c$ in $\mathbb{Z}{n}$ provided that $c$ and $n$ are relatively prime. Put in our alternative way, $c$ will possess a multiplicative inverse in $\mathbb{Z}{n}$ if and only if $c$ and $n$ are relatively prime. We observe that in the real numbers it’s easy to write down the inverse of a non-zero element $x$ (it’s just $1 / x$ ), but in $\mathbb{Z}{n}$ it’s not so obvious. We need to look at some examples.
数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|Properties of Congruences
现在回到同余，我们在下面的引理中陈述了它们的一些属性，这些属性在我们前进时将需要。我们证明了几个性质，剩下的证明留给你在问题中做 $3.3$ 和问题 3.11。 基本的证明技术是将关于同余的陈述翻译成整数中的相应方程并从那里开始。
引理 3.1。让 $n \geq 2$ 是一个固定的整数。假使，假设 $a \equiv b(\bmod n)$ 然后 $c \equiv d(\bmod n)$. 那么
$$
\begin{aligned}
&\text { (一) } a+c \equiv b+d(\bmod n) \text {; } \
&\text { (二) } a-c \equiv b-d(\bmod n) ; \
&\Leftrightarrow a c \equiv h d(\bmod n)
\end{aligned}
$$
(iv) 如果 $m$ 是一个整数，那么 $m a \equiv m b(\bmod n)$;
(v) 如果 $d$ 是一个除数 $n$ ，然后 $a \equiv b(\bmod d)$.
证明。我们证明第 (i)、(iii) 和 (v) 部分，将其余部分的证明留给您。根据引理的假设，我们有 $a-b=n k$ 和 $c-d=n j$ 对于一些整数 $k$ 和 $j$. 为了证明第 (i) 部分，我们 计算
$$
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=n k+n j=n(k+j)
$$
自从 $k+j$ 是一个整数，我们可以得出结论 $a+c \equiv b+d(\bmod n)$
对于第 (iii) 部分，我们有 $a c=(b+n k)(d+n j)=b d+b n j+d n k+n^{2} k l=b d+n(b j+d k+n k j)$.
所以 $a c-b d=n(b j+d k+n k j)$ 在哪里 $b j+d k+n k$ 是一个整数，所以 $a c \equiv b d(\bmod n)$.
数学代写|数论作业代写number theory代考|Doing Division in Zn
为了结束本章，让我们仔细看看集合中的划分 $\mathbb{Z} n$. 在实数集合 (即所有十进制数) 中，我们知道我们总是可以除以任何非零数并得到一个实数作为答案。例如，如果 牫们划分 $5.4$ 乘以 2 我们得到 $2.7$ 。然而，我们也知道，这在整数中是不正确的 $\mathbb{Z} ;$ 例如， 5 除以 2 不是整数。回到实数，描述总是能够除的另一种方式是说每个非零实 数都胂有一个 (唯一的) 乘法逆元。例如，在实数中， 2 的乘法倒数是 $1 / 2=0.5$. 然后我们注意到除以实数与乘以它的乘法倒数是一样的。例如，在实数中， $5.4$ 除 以 $2=(5.4)(0.5)=2.7$. 我们还注意到，在整数 $\mathbb{Z}$ ，唯一具有乘法逆元的元素是 1 和 $-1$ ，所以它们是唯一可以除以的数字 $\mathbb{Z}$. 用乘法逆元来思考除法将邦助我们理解在 俄们的新集合中发生了什么 $\mathbb{Z} n$.
然后我们问，哪些元素 $\mathbb{Z} n$ 拥有乘法逆元，哪些没有? 现在引理 $3.2$ 用稍微不同的语言告诉我们答案: 你总是可以除以在 $\mathbb{Z} n$ 前提是 $c$ 和 $n$ 是相对优质的。换一种方式， c将具有乘法逆 $\mathbb{Z} n$ 当且仅当 $c$ 和 $n$ 是相对优质的。我们观察到在实数中很容易写下非零元素的倒数 $x$ (只是 $1 / x$ )，但在 $\mathbb{Z} n$ 这不是那么明显。我们需要看一些例子。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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