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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Using Factorization

In Chapter 1 we introduced a very efficient procedure for computing the greatest common divisor (gcd) of two positive integers, namely the Euclidean Algorithm. This procedure is probably not, however, how you computed a gcd in the past; rather you probably used factorization. We now formalize this simple method under the assumption that we have been able to find the prime factorizations of two positive integers $a$ and $b$. We wish to emphasize that for relatively small $a$ and $b$ the process of first factoring and then applying this method generally works well; but as $a$ and $b$ get larger, the Euclidean Algorithm is much more efficient.

Theorem 2.5. Let $a=p_{1}^{u_{1}} p_{2}^{u_{2}} \cdots p_{r}^{u_{r}}$ and $b=p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{r}^{b_{r}}$ be the canonical factorizations of $a$ and $b$, respectively, (where perhaps some of the exponents are zero in order to allow a common list of primes to be used for $a$ and $b$ ). Here, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{r}$ are distinct primes, $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r} \geq 0$ and $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{r} \geq 0$. Then
$$g c d(a, b)=p_{1}^{\min \left(a_{1}, b_{1}\right)} p_{2}^{\min \left(a_{2}, b_{2}\right)} \ldots p_{r}^{\min \left(a_{r}, b_{r}\right)}$$
where $\min (x, y)$ is the smaller of the two values $x$ and $y$.
Example 2.5. (a) Let us use Theorem $2.5$ to calculate the gcd of 350 and 450 . The canonical factorizations of 350 and 450 are $2^{1} 5^{2} 7^{1}$ and $2^{1} 3^{2} 5^{2}$ respectively. In order to apply the theorem we include each of the primes $2,3,5$, and 7 in both of our factorizations, hence rewriting the factorizations as $350=2^{1} 3^{0} 5^{2} 7^{1}$ and $450=2^{1} 3^{2} 5^{2} 7^{0}$. Now the theorem tells us that $\operatorname{gcd}(350,450)=2^{1} 3^{0} 5^{2} 7^{0}$, i.e., the gcd of 350 and 450 is 50 .

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Solved Problems

2.1. Classify each of the following integers as prime or composite by searching for possible prime divisors: (a) $87, \quad$ (b) $89, \quad$ (c) 217 ,
(d) 111, (e) 113
Solution:
(a) composite since $87=3 \cdot 29$
(b) prime, since it’s not divisible by $2,3,5$, or 7
(c) composite since $217=7 \cdot 31$
(d) composite since $111=3 \cdot 37$
(e) prime, since it’s not divisible by $2,3,5$, or 7
2.2. In Parts (b) and (e) of the previous problem, we stopped checking for prime divisors when we got to 7 . Here is why that was sufficient. Suppose that $n$ is a composite integer and $p$ is a prime which divides $n$. Prove that if $p>\sqrt{n}$, then $n$ must be divisible by another prime $q$ which satisfies that $q<\sqrt{n}$. Solution: Proof. Since $p$ divides $n$, we have $n=p m$ for some integer $m$. Since $p>\sqrt{n}$, we must have that $m<\sqrt{n}$, for if not, i.e., if $m \geq \sqrt{n}$, then we would have $n=p m>\sqrt{n} \sqrt{n}=n$, which is impossible.

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Using Factorization

$$\operatorname{gcd}(a, b)=p_{1}^{\min \left(a_{1}, b_{1}\right)} p_{2}^{\min \left(a_{2}, b_{2}\right)} \ldots p_{r}^{\min \left(a_{r}, b_{r}\right)}$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Solved Problems

2.1。通过搜索可能的素数除数，将以下每个整数分类为素数或合数：(a) $87, \quad$ (b) $89, \quad$ (c) 217 ，
(d) 111, (e) 113

(a) 复合因为 $87=3 \cdot 29$
(b) 榡数，因为它不能被 $2,3,5$, 或 7
(c) 复合因为 $217=7 \cdot 31$
(d) 复合自 $111=3 \cdot 37$
(e) 素数，因为它不能被 $2,3,5$ ，或 7
2.2。在上一个问题的 (b) 和 (e) 部分中，当我们到达 7 时，我们停止检查素数除数。这就是为什么这就足够了。假设 $n$ 是一个复合整数并且 $p$ 是一个除以的素数 $n$. 证明 如果 $p>\sqrt{n}$ ，然后 $n$ 必须能被另一个素数整除 $q$ 满足 $q<\sqrt{n}$. 解决方案：证明。自从 $p$ 划分 $n$ ，我们有 $n=p m$ 对于某个整数 $m$. 自从 $p>\sqrt{n}$ ，我们必须有 $m<\sqrt{n}$ 杽 如果不是，即如果 $m \geq \sqrt{n}$ ，那么我们会有 $n=p m>\sqrt{n} \sqrt{n}=n$ ，这是不可能的。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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