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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The LU Decomposition with Pivoting
Gaussian elimination is referred to as a direct method for solving a linear system, meaning a method that terminates in finitely many iterations. These are very different from our methods of Ch. 1; in infinite precision arithmetic, Gaussian elimination would always give us the right answer in finitely many operations (like the quadratic formula does for quadratic equations), whereas Newton’s method would always give an approximation (even in infinite precision arithmetic). There are also iterative methods for linear systems that, like Newton’s method, do not reach their answer in finitely many steps, and that are useful for certain types of large systems (as we will discuss in Ch. 3). We’ll continue to focus on direct methods for now.
At this point our method for finding an LU decomposition works only when row-reducing the matrix does not require pivoting. There are types of matrices for which it can be shown that Gaussian elimination with partial pivoting will in fact never actually pivot (that is, interchange rows), but this is still a significant restriction. We need to remove it.
A matrix that does require pivoting need not have an LU decomposition at all. For example, consider the $2 \times 2$ matrix
$$
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 1
\end{array}\right] \text {. }
$$
This is a square, nonsingular, well-behaved matrix. However, to have
$$
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \
m & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
a & b \
0 & c
\end{array}\right]
$$
would require that (upon multiplying the matrices on the RHS) $a=0, b=1$, $a m=1$, and $m b+c=1$. But $a m=1$ is not possible, since $a=0$. Therefore this matrix does not admit an LU decomposition.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Cholesky Decomposition
When we know something special about a matrix $A$ involved in a computational linear algebra problem we can often exploit it for additional efficiency. The two most commonly occurring cases are those in which we know that the matrix is sparse, that is, most of its entries are zeroes, and those in which we know that the matrix is symmetric, that is, that $A=A^T$. In this section we’ll focus on symmetric matrices that have an additional property: If $x$ is a nonzero vector then
$$
x^T A x>0 .
$$
A symmetric matrix with this property is said to be positive definite ${ }^8$. An equivalent characterization is that a matrix is positive definite if and only if it is symmetric and all of its eigenvalues are strictly positive. (Hence it will be nonsingular, as no eigenvalue is null.) A symmetric matrix with the property that $x^T A x \geq 0$ for all $x$ is said to be positive semi-definite and all its eigenvalues must be nonnegative. Similarly for negative definite $\left(x^T A x<0\right)$ and negative semi-definite $\left(x^T A x \leq 0\right)$ matrices.
Positive definite matrices appear more frequently than one might expect in practice. The quantity $x^T A x$ is called a quadratic form in $A$ and is the natural generalization of the scalar form $a x^2$; in this context it occurs in the generalization of Taylor series to functions of more than one variable where it is called the Hessian matrix. We’ll see in Ch. 7 that having the Hessian be positive definite is the natural analog of asking that $f^{\prime \prime}(x)$ be positive in single-variable calculus. This means that positive definite matrices appear often in multivariable minimization problems. Positive definite matrices also appear in least squares curve-fitting problems (see Sec. 2.7) and in the numerical solution of partial differential equations.
Since positive definite matrices are symmetric, they contain only about half as many distinct entries as a general matrix of the same order, and so we ought to be able to save about half the work and half the storage when dealing with them. However, an arbitrarily selected method will usually not take advantage of this structure. For example, the LU decomposition $A=L U$ of a symmetric matrix cannot have $L$ or $U$ symmetric in general ${ }^9$. We’ll focus on the more specific case of positive definite matrices. Here there is indeed a straight-forward procedure that produces an LU decomposition of the matrix in about half the time and using about half the storage, as we would expect.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The LU Decomposition with Pivoting
高斯消去法被称为求解线性系统的一种直接方法，这意味着一种终止于有限次迭代的方法。这些方法与第一章的方法截然不同;在无限精确的算术中，高斯消去法总是在有限的操作中给我们正确的答案(就像二次方程的二次公式)，而牛顿的方法总是给出一个近似(即使在无限精确的算术中)。对于线性系统，也有一些迭代方法，像牛顿方法，不能在有限的许多步骤中得到答案，这对于某些类型的大型系统是有用的(我们将在第3章中讨论)。我们现在将继续关注直接方法
在这一点上，我们找到一个LU分解的方法只有在行约简矩阵不需要枢轴时才有效。有些类型的矩阵可以证明，高斯消去的部分主元实际上永远不会真正的主元(也就是说，交换行)，但这仍然是一个重要的限制。我们需要删除它。
一个需要枢轴的矩阵根本不需要LU分解。例如，考虑$2 \times 2$矩阵
$$
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 1
\end{array}\right] \text {. }
$$
这是一个方阵，非奇异，行为良好的矩阵。但是，要使
$$
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \
1 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \
m & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
a & b \
0 & c
\end{array}\right]
$$
将要求(在RHS上相乘矩阵时)$a=0, b=1$、$a m=1$和$m b+c=1$。但是$a m=1$是不可能的，因为$a=0$。因此，这个矩阵不允许进行LU分解。
数学代写|数值分析代写数值分析代考| Cholesky分解
当我们知道涉及计算线性代数问题的矩阵$A$的一些特殊情况时，我们通常可以利用它获得额外的效率。最常见的两种情况，一种是我们知道矩阵是稀疏的，也就是它的大部分元素都是零，另一种是我们知道矩阵是对称的，也就是$A=A^T$。在本节中，我们将关注具有额外属性的对称矩阵:如果$x$是一个非零向量，那么
$$
x^T A x>0 .
$$
具有此属性的对称矩阵被称为正定${ }^8$。一个等价的描述是，当且仅当一个矩阵是对称的并且它的所有特征值都严格为正时，它是正定的。(因此它将是非奇异的，因为没有特征值是空的。)一个具有$x^T A x \geq 0$对所有$x$是正半定性质的对称矩阵，它的所有特征值必须是非负的。对于负定的$\left(x^T A x<0\right)$和负半定的$\left(x^T A x \leq 0\right)$矩阵也是如此
正定矩阵在实践中出现的频率比人们预期的要高。量$x^T A x$在$A$中称为二次形式，是标量形式$a x^2$的自然推广;在这种情况下，它出现在将泰勒级数推广到有多个变量的函数时，它被称为黑森矩阵。我们将在第7章中看到，让黑森函数是正定的，就像要求$f^{\prime \prime}(x)$在单变量微积分中是正的一样。这意味着正定矩阵在多变量最小化问题中经常出现。正定矩阵也出现在最小二乘曲线拟合问题(见第2.7节)和偏微分方程的数值解中
由于正定矩阵是对称的，它们包含的不同项大约只有相同顺序的一般矩阵的一半，因此在处理正定矩阵时，我们应该能够节省大约一半的工作和一半的存储空间。然而，任意选择的方法通常不会利用这种结构。例如，对称矩阵的LU分解$A=L U$在一般的${ }^9$中不能使$L$或$U$对称。我们将关注更具体的正定矩阵的情况。这里确实有一个简单的过程，如我们所期望的那样，在大约一半的时间和大约一半的存储空间内生成矩阵的LU分解
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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