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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|ENGG101

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|SAIRA and Shuhuang Xiang

Boundary element method and finite element method are intensively eminent numerical approaches to evaluate partial differential equations (PDEs), which appear in variety of disciplines from engineering to astronomy and quantum mechanics [1-5]. Although these methods lead PDEs to Fredholm integral equations or Voltera integral equations, but these kind of integral equations posses integrals of oscillatory, Cauchy-singular, logarithmic singular, weak singular kernel functions. However, these classical methods are failed to approximate the integrals constitute kernel functions of highly oscillation and logarithmic singularity.
This paper aims at approximation of the integral
$$
I^\alpha[f]=f_{-1}^1 \frac{f(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x,
$$
where $t \in(-1,1), k \gg 1, \alpha \in[-1,1], f(x)$ is relatively smooth function. For integral (1) the developed strategy for logarithmic singularity $\log (x-\alpha)$ is valid for $\alpha \in[-1,1]$. In particular, the highly oscillatory integral, $\int_{-1}^1 f(x) e^{i k x} d x$ has been computed by many methods such as asymptotic expansion, Filon method, Levin collocation method and numerical steepest descent method [6-10]. For instant, Dominguez et al. [11] for function $f(x)$ with integrable singularities have proposed an error bound, calculated in Sobolev spaces $H^m$, for composite Filon-Clenshaw-Curtis quadrature. Error bound depends on the derivative of $f(x)$ and length of the interval $M$, for some $C_1(f)$ defined as $E_N \leq C_1(f)\left(\frac{1+|\log (k)|}{k^{1+\beta}}\right)^r(\log M)^{1+\beta-r}\left(\frac{1}{M}\right)^{N+1-r}$ for $\beta \in(-1,0), r \in[0,1+\beta]$

On the other hand, one methodology for numerical evaluation of integral $f_{-1}^1 \frac{f(x) e^{i k x}}{x-t} d x$ is replacing $f(x)$ by different kind of polynomials [12,13]. Another technique is based on analytic continuation of the integral if the integrand $f(x)$ is analytic in the complex region [14]. As far as for $k=0$ solution methods and properties of the solution for relative non-homogenous integrals have been discussed by using Brestain polynomials and Chebyshev polynoimals of all four kinds in [3,15].

For integral $\int_{-1}^1 f(x) \log \left((x-\alpha)^2\right) e^{i k x} d x$ Clenshaw-Curtise rule is applied for numerical calculation. Wherein the convergence rate is independent of $k$ but depends on the number of nodes of quadrature rule and function $f(x)$ [16]. Furthermore, Piessense and Branders [17] established the Clenshaw-Curtis quadrature rule, relies on the recurrence relation for $\int_{-1}^1 f(x) e^{i k x}(x+1)^a \log (x+1) d x$. They replaced the nonoscillatory and nonsingular part of the integrand by Chebyshev series. Chen [18] presented the numerical approximation of the integral $I[f]=f_{-1}^1 \frac{f(x)^{k i x x}}{(x+1)^\mu(x-1)^\beta \prod_{m=1}^n\left(x-\tau_m \gamma^{m m}\right.} d x$, with $\alpha, \beta<1, a<\gamma_m<b$ and $\gamma_m \leq 1$. For analytic function $f(x)$ the integral was rewritten in the form of sum of line integrals, wherein the integrands do not oscillate and decay exponentially.

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In the computation of integral $I^\alpha[f]$, the Clenshaw-Curtis quadrature approach is extensively adopted. The scheme is postulated on interpolating the function $f(x)$ at Clenshaw-Curtis points set $X_{N+1}=\left{x_j=\cos \frac{j \pi}{N}\right}_{j=0}^N$. Writing the interpolation polynomial as basis of Chebyshev series
$$
f(x) \approx P_N(x)=\sum_{n=0}^N{ }^n a_n T_n(x),
$$
where $T_n(x)$ is the Chebyshev polynomial of first kind of degree $N$ and double prime denotes a sum whose first and last terms are halved, the coefficients
$$
a_n=\frac{2}{N} \sum_{j=0}^N f\left(x_j\right) T_n\left(x_j\right)
$$ can be computed efficiently by FFT in $O(N \log N)$ operations $[8,9]$. This paper appertains to Clenshaw-Curtis quadrature, which depends on Hermite interpolating polynomial that allow us to get higher order accuracy
$$
\tilde{P}\left(x_j\right)=f\left(x_j\right), j=0, \cdots N ; \quad \widetilde{P}(t)=f(t) .
$$
For any fixed $t$, we can elect felicitous $N$ such that $t \notin\left{x_j\right}_{j=0}^N$ and rewrite Hermite interpolating polynomial of degree $N+1$ in terms of Chebyshev series
$$
\tilde{P}{N+1}(x)=\sum{n=0}^{N+1} c_n T_n(x)
$$
$c_n$ can be calculated in $O(N)$ operations once if $a_n$ are known [13,21]. Finally Clenshaw-Curtis quadrature for integral $I^\alpha[f]$ is defined as
$$
\begin{aligned}
I_{N+1}^\alpha[f] &=\sum_{n=0}^{N+1} c_n f_{-1}^1 \frac{T_n(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x \
&=\sum_{n=0}^{N+1} c_n D_n^\alpha(k, t)
\end{aligned}
$$
where
$$
D_n^\alpha(k, t)=f_{-1}^1 \frac{T_n(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x
$$
more specifically $D_n^a(k, t)$ are called the modified moments. Efficiency of the Clenshaw-Curtis quadrature depends on the fast computation of the moments. In ensuing sub-section, we deduce the recurrence relation for $D_n^a(k, t)$.

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数值方法代考

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边界元法和有限元法是评估偏微分方程 (PDE) 的重要数值方法,它出现在从工程学到天文学和量子力学的各种学科中 [1-5]。虽然这些方法将偏微分方䅣引向 Fredholm 积分方程或 Voltera 积分方程,但这类积分方程具有振芴、柯西奇异、对数奇异、弱奇异核函数的积分。然而,这些经典方法都末能逼近构成高度振 荡和对数奇异性的核函数的积分。 本文旨在近似积分
$$
I^\alpha[f]=f_{-1}^1 \frac{f(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x,
$$
在哪里 $t \in(-1,1), k \gg 1, \alpha \in[-1,1], f(x)$ 是比较流畅的功能。对于积分 (1) 对数奇点的开发策略log $(x-\alpha)$ 适用于 $\alpha \in[-1,1]$. 特别是,高度振荡的积分, $\int_{-1}^1 f(x) e^{i k x} d x$ 已通过渐近展开法、 Filon 法、 Levin 搭配法和数值最速下降法 [6-10] 等多种方法计算。瞬间,Dominguez 等人。[11] 功能 $f(x)$ 具有可积奇点的 提出了一个误差界限,在 Sobolev 空间中计算 $H^m$ ,对于复合 Filon-Clenshaw-Curtis 求积。误差界取决于导数 $f(x)$ 和间隔的长度 $M$ ,对于一些 $C_1(f)$ 定义为 $E_N \leq C_1(f)\left(\frac{1+|\log (k)|}{k^{1+\beta}}\right)^T(\log M)^{1+\beta-r}\left(\frac{1}{M}\right)^{N+1-r}$ 为了 $\beta \in(-1,0), r \in[0,1+\beta]$
另一方面,积分数值评估的一种方法 $f_{-1}^1 \frac{f(x) e^{i k x}}{x-t} d x$ 正在更换 $f(x)$ 通过不同种类的多项式 $[12,13]$ 。另一种技术是基于积分的解析延拓,如果被积函数 $f(x)$ 在复杂 区域[14]中进行分析。至于 $k=0$ 在 [3,15] 中使用所有四种类型的 Brestain 多项式和 Chebyshev 多项式讨论了相对非齐次积分的求解方法和解的性质。
对于积分 $\int_{-1}^1 f(x) \log \left((x-\alpha)^2\right) e^{i k x} d x$ Clenshaw-Curtise 规则适用于数值计算。其中收敛速度与 $k$ 但取决于正交规则和函数的节点数 $f(x)[16]$ 。此外, Piessense 和 Branders [17] 建立了 Clenshaw-Curtis 求积法则,依赖于递归关系 $\int_{-1}^1 f(x) e^{i k x}(x+1)^a \log (x+1) d x$. 他们用切比雪夫级数代替了被积函数的非振 荡和非奇异部分。Chen [18] 提出了积分的数值近似 $I[f]=f_{-1}^1 \frac{f(x)^{k i x x}}{(x+1)^\mu(x-1)^\beta \prod_{m 1}^\mu\left(x-\tau_m \gamma^{m m}\right.} d x$ ,和 $\alpha, \beta<1, a<\gamma_m<b$ 和 $\gamma_m \leq 1$. 对于解析函数 $f(x)$ 积分被改 写为线积分和的形式,其中被积函数不振萡和指数衰减。

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在积分计算中 $I^\alpha[f]$ ,广泛采用 Clenshaw-Curtis 求积法。该方案被假定为对函数进行揷值 $f(x)$ 在 Clenshaw-Curtis 点集 〈1eft 的分隔符缺失或无法识别
编写揷值多顶式作为切比雪夫级数的基础
$$
f(x) \approx P_N(x)=\sum_{n=0}^N{ }^n a_n T_n(x),
$$
在挪里 $T_n(x)$ 是第一类次数的切比雪夫多项式 $N$ 双素数表示第一项和最后一项减半的和,系数
$$
a_n=\frac{2}{N} \sum_{j=0}^N f\left(x_j\right) T_n\left(x_j\right)
$$
可以通过 FFT 有效地计算 $O(N \log N)$ 操作 $[8,9]$. 本文属于 Clenshaw-Curtis 求积,它依赖于 Hermite 揷值多项式,使我们能够获得更高的阶精度
$$
\tilde{P}\left(x_j\right)=f\left(x_j\right), j=0, \cdots N ; \quad \widetilde{P}(t)=f(t) .
$$
对于任何固定 $t$, 我们可以选 felicitous $N$ 这样 $\backslash 1 \mathrm{eft}$ 的分隔符缺失或无法识别
$$
\tilde{P} N+1(x)=\sum n=0^{N+1} c_n T_n(x)
$$
$c_n$ 可以计算在 $O(N)$ 如果操作一次 $a_n$ 已知 $[13,21]$ 。最后 Clenshaw-Curtis 求积积分 $I^\alpha[f]$ 定义为
$$
I_{N+1}^\alpha[f]=\sum_{n=0}^{N+1} c_n f_{-1}^1 \frac{T_n(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x \quad=\sum_{n=0}^{N+1} c_n D_n^\alpha(k, t)
$$
在挪里
$$
D_n^\alpha(k, t)=f_{-1}^1 \frac{T_n(x) \log (x-\alpha) e^{i k x}}{x-t} d x
$$
进一步来说 $D_n^a(k, t)$ 称为修正矩。Clenshaw-Curtis 求积的效率取决于矩的快速计算。在接下来的小节中,我们推导出递归关系 $D_n^a(k, t)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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