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如果所有导数的近似值(有限差分、有限元、有限体积等)在步长(Δt、Δx等)趋于零时都趋于精确值,则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间(或迭代)增长,则表示数值方法是稳定的(如IVPs)。

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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|MATH340-002

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Model for the Evaluation

Recent discoveries in high-energy particle accelerators are connected to the possibility to reach higher level of energies in the experiments [1]. One of the main limitations to the involved energy, that is to say to the current of the beam, is the instability of the particle due to the electromagnetic interaction with the surrounding structures [2]. The synthetic design parameter commonly adopted in literature to describe the electromagnetic interaction between a traveling particle and a structure is the coupling impedance [3-5]. This parameter is proportional to the energy lost by the traveling charge due to the interaction with the scattered fields produced by the surrounding structures. Equivalently, it is proportional to the energy that has to be spent to keep its speed constant, neglecting the slowing effect of the surrounding structures. For structures invariant along the charge traveling direction, a per-unit-length coupling impedance has to be introduced [4], whose longitudinal and transverse components can be defined as
$$
Z_{|}(r, \varphi, k)=-\frac{1}{q} \frac{1}{L} \int_{-L / 2}^{L / 2} E_z(r, \varphi, z, \omega) e^{j k z / \beta} d z \quad Z_{\perp}(r, \varphi, k)=\frac{1}{k} \nabla_{\perp} Z_{|}(r, \varphi, k),
$$
where $L$ is an unitary length, $E_z(r, \varphi, z, \omega)$ the $x$-component of the electric field in the frequency domain, $k$ the wavenumber, and the charge $q$ is moving at constant velocity $v=\beta c$ along the $z$ axis. The second equation in (1) is known as the Panofski-Wenzel theorem [6].

The research of new shapes of cavities with proper coupling impedances is actually of high interest for the design of even more efficient particle accelerators [7-9]. Nowadays, powerful tools allow performing the electromagnetic numerical analysis of complex structures [10]. However, analytical or semi-analytical solutions still play a valuable role in this field, enabling to better understand the physics of some phenomena. Modal analysis is often adopted for close structures [11,12], diffractive methods for high-frequency solutions, and integral formulations for open geometries or in the presence of edges $[13,14]$.

Most of the studies related to the coupling impedance consider, in a cylindrical reference system, axially symmetric geometries. This choice is both because they represent most of the structures of interest and because the symmetry allows finding the solution with less effort or even in a semi-analytical form. In this paper, we want to analyze the interaction of a particle with a axially asymmetric structure, in particular an angular slot, as shown in Figure 1. This configuration is representative of particle accelerator components that break the axial symmetry. The proposed method is quite general and can be adopted for a wide class of scattering and diffraction problems [15-20]. It can be easily generalized and adopted to analyze similar geometries.

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Electromagnetic Fields in the Slot Frame

In order to complete the problem formulation, it is proper to express the electromagnetic fields in the slot frame, too. This can be realized by applying the Lorentz transforms to the fields computed in the previous section in particle frame.

Let us consider at first the $z$ component of the electric field. The contribution provided by the traveling charge in the frequency domain is well known and is
$$
E_{z, q}=\frac{j q \kappa \zeta_0}{2 \pi \beta \gamma} e^{-j z k / \beta} K_0\left(\kappa \sqrt{r^2+r_q^2-2 r r_q \cos (\varphi)}\right),
$$
where $\gamma=1 / \sqrt{1-\beta^2}$ is the Lorentz factor, $\kappa=k /(\beta \gamma)$, and $\zeta_0=\sqrt{\mu_0 / \varepsilon_0}$ is the characteristic impedance of free space.

The contribution produced by the induced current density on the slot can be obtained with some manipulations as function of the representation coefficients $\sigma_n$.
In the particle frame, starting from Equation (3) it is possible to obtain
$$
e_z^{\prime}\left(r^{\prime}, \varphi^{\prime}, z^{\prime}\right)=\frac{a}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{S}} \frac{\sigma^{\prime}\left(\varphi_0, z_0\right)\left(z^{\prime}-z_0\right) d \varphi_0 d z_0}{\left[r^{\prime 2}+a^2-2 r^{\prime} a \cos \left(\varphi^{\prime}-\varphi_0\right)+\left(z^{\prime}-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} .
$$
Lorentz transforms are now applied to obtain the electric field in the slot frame. In this specific case they are
$$
e_z^{\prime}=e_z, \sigma^{\prime}=\sigma \gamma, r^{\prime}=r, \varphi^{\prime}=\varphi, z^{\prime}=\gamma(z-v t) .
$$
Applying these transforms to Equation (19), it is found that
$$
e_z(r, \varphi, z, t)=\frac{a \gamma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{S}} \frac{\sigma\left(\varphi_0, z_0\right)\left(\gamma(z-v t)-z_0\right) d \varphi_0 d z_0}{\left[r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)+\left(\gamma(z-v t)-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} .
$$
By means of Equation (8) and applying a spatial Fourier transform according to Equation (9), it is found that
$$
e_z(r, \varphi, z, t)=\frac{j a \gamma}{2 \pi \varepsilon_0} \int_{-\varphi_a}^{+\varphi_a} \int_{-\infty}^{+\infty} \sigma\left(\varphi_0, w\right) w e^{j w \gamma v t} K_0\left(w \sqrt{r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)}\right) e^{-j w \gamma z} d \varphi_0 d w .
$$
Finally, by performing a time Fourier transform and then the integral on $w$, the required field is finally found as
$$
E_z(r, \varphi, z, \omega)=\frac{j a k \zeta_0}{\beta^2} e^{-j z k / \beta} \int_{-\varphi_a}^{+\varphi_a} \tilde{\sigma}\left(\varphi_0, \kappa\right) K_0\left(\kappa \sqrt{r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)}\right) d \varphi_0 .
$$

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|MATH340-002

数值方法代考

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Model for the Evaluation

高能粒子加速器的最新发现与在实验中达到更高能量水平的可能性有关[1]。所涉及能量的主要限制之一,即对束流的限制,是由于与周围结构的电磁相互作用 引起的粒子的不稳定性[2]。文献中常用的用于描述行进粒子与结构之间的电磁相互作用的综合设计参数是耦合阻抗 [3-5]。该参数与由于与周围结构产生的散射 场相互作用而导致的行进电荷损失的能量成正比。等效地,它与保持其速度恒定所花费的能量成正比,忽略周围结构的减速效应。
$$
Z_{\mid}(r, \varphi, k)=-\frac{1}{q} \frac{1}{L} \int_{-L / 2}^{L / 2} E_z(r, \varphi, z, \omega) e^{j k z / \beta} d z \quad Z_{\perp}(r, \varphi, k)=\frac{1}{k} \nabla_{\perp} Z_{\mid}(r, \varphi, k),
$$
在哪里 $L$ 是单位长度, $E_z(r, \varphi, z, \omega)$ 这 $x$-频域中的电场分量, $k$ 波数和电荷 $q$ 以恒定速度移动 $v=\beta c$ 沿着 $z$ 轴。(1) 中的第二个方程被称为 Panofski-Wenzel 定理 [6]。
研究具有适当耦合阻抗的新空腔形状实际上对于设计更高效的粒子加速器具有很高的兴趣 [7-9]。如今,强大的工具允许对复刹结构进行电磁数值分析[10]。然 而,解析或半解析解决方案在该领域仍然发挥着重要作用,能够更好地理解某些现象的物理特性。模态分析通常用于闭合结构 [11,12]、高频解的衍射方法以及 开放几何或存在边缘的积分公式 $[13,14]$.
大多数与耦合阻抗相关的研究在圆柱参考系统中考虑轴对称几何形状。这种选择既是因为它们代表了大多数感兴趣的结构,而且因为对称性允许以更少的努力甚 至以半解析的形式找到解决方案。在本文中,我们要分析粒子与轴非对称结构的相互作用,特别是角模,如图 1 所示。这种配置是破坏轴对称的粒子加速㕷组件 的代表。所提出的方法非常通用,可用于广泛的散射和衍射问题[15-20]。它可以很容易地推广和采用来分析相似的几何形状。

数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Electromagnetic Fields in the Slot Frame

为了完成问题的表述,也可以在棏帧中表达电磁场。这可以通过将洛伦兹变换应用于粒子帧中上一节中计算的场来实现。
让我们首先考虑 $z$ 电场的分量。旅行费用在频域中的贡献是众所周知的,并且是
$$
E_{z, q}=\frac{j q \kappa \zeta_0}{2 \pi \beta \gamma} e^{-j z k / \beta} K_0\left(\kappa \sqrt{r^2+r_q^2-2 r r_q \cos (\varphi)}\right),
$$
在哪里 $\gamma=1 / \sqrt{1-\beta^2}$ 是洛伦兹因子, $\kappa=k /(\beta \gamma)$ ,和 $\zeta_0=\sqrt{\mu_0 / \varepsilon_0}$ 是自由空间的特性阻抗。
由槽上的感应电流密度产生的贡献可以通过一些操作犾得,作为表示系数的函数 $\sigma_n$.
在粒子框架中,由式 $(3)$ 可以得到
$$
e_z^{\prime}\left(r^{\prime}, \varphi^{\prime}, z^{\prime}\right)=\frac{a}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{S}} \frac{\sigma^{\prime}\left(\varphi_0, z_0\right)\left(z^{\prime}-z_0\right) d \varphi_0 d z_0}{\left[r^{\prime 2}+a^2-2 r^{\prime} a \cos \left(\varphi^{\prime}-\varphi_0\right)+\left(z^{\prime}-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} .
$$
现在应用洛伦兹变换来获得橧框架中的电场。在这种特定情况下,它们是
$$
e_z^{\prime}=e_z, \sigma^{\prime}=\sigma \gamma, r^{\prime}=r, \varphi^{\prime}=\varphi, z^{\prime}=\gamma(z-v t) .
$$
将这些变换应用于等式 (19),发现
$$
e_z(r, \varphi, z, t)=\frac{a \gamma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathcal{S}} \frac{\sigma\left(\varphi_0, z_0\right)\left(\gamma(z-v t)-z_0\right) d \varphi_0 d z_0}{\left[r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)+\left(\gamma(z-v t)-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} .
$$
通过等式 (8) 并根据等式 (9) 应用空间傅里叶变换,发现
$$
e_z(r, \varphi, z, t)=\frac{j a \gamma}{2 \pi \varepsilon_0} \int_{-\varphi_a}^{+\varphi_a} \int_{-\infty}^{+\infty} \sigma\left(\varphi_0, w\right) w e^{j \omega \gamma v t} K_0\left(w \sqrt{r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)}\right) e^{-j w \gamma z} d \varphi_0 d w .
$$
最后,通过执行时间傅里叶变换,然后积分 $w$ ,必填字段最终找到为
$$
E_z(r, \varphi, z, \omega)=\frac{j a k \zeta_0}{\beta^2} e^{-j z k / \beta} \int_{-\varphi_a}^{+\varphi_a} \tilde{\sigma}\left(\varphi_0, \kappa\right) K_0\left(\kappa \sqrt{r^2+a^2-2 r a \cos \left(\varphi-\varphi_0\right)}\right) d \varphi_0 .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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