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## 物理代写|光学代写Optics代考|Flows with Director Axis Reorientation

The preceding section deals with the case where the director axis is fixed during fluid flow. In more general situations, director axis reorientation often accompanies fluid flows and vice versa. Taking into account the moment of inertia $I$ and the torque $\vec{\Gamma}=\hat{n} \times \vec{f}$, where $\vec{f}$ is the molecular internal elastic field defined in Eq. (3.11), $\vec{\Gamma}{\text {ext }}$ is the torque associated with an externally applied field, and $\vec{\Gamma}{\text {vis }}$ is the viscous torque associated with the viscous forces, the equation of motion describing the angular acceleration $d \Omega / d t$ as the director axis may be written as
$$I \frac{d \Omega}{d t}=\left(n \times \vec{f}+\vec{\Gamma}{\mathrm{ext}}\right)-\vec{\Gamma}{\mathrm{vis}}$$
The viscous torque $\vec{\Gamma}{\text {vis }}$ consists of two components [3]: one arising from pure rotational effect (i.e. no coupling to the fluid flow) given by $\gamma_1 \hat{n} \times \vec{N}$ and another arising from coupling to the fluid motion given by $\gamma_2 \hat{n} \times \hat{A} n$. Therefore, we have $$\vec{\Gamma}{\text {vis }}=n \times\left[\gamma_1 \vec{N}+\gamma_2 A n\right]$$
Here $\vec{N}$ is the rate of change of the director with respect to the immobile background fluid, given by
$$\vec{N}=\frac{d n}{d t}-\hat{\omega} \times n$$ where $\hat{\omega}$ is the angular velocity of the liquid. In Eq. (3.66) $\hat{A}$ is the velocity gradient tensor defined by Eq. (3.60).

## 物理代写|光学代写Optics代考|Reorientation with Flow Coupling

Field-induced director axis reorientation, accompanied by fluid flow, is quite complicated as it involves much more physical parameters. Consider the interaction geometry shown in Figure 3.13. A homeotropically aligned nematic liquid crystal film is acted on by an electric or a magnetic field in the $x$-direction. Let $\phi$ denote the director axis reorientation angle from the original alignment direction $z$. Assume hard-boundary conditions at the two cell walls at $z=0$ and at $z=d$. The flow is in the $x$-direction, with a $z$ dependence.
The following are the pertinent parameters involved:
$$\text { director axis : } n=(\sin \varphi, 0, \cos \varphi) \text {, }$$

velocity field: $\vec{v}=[v(z), 0,0]$,
free energies: $F=\frac{1}{2} K_1(\nabla \cdot n)^2+\frac{1}{2} K_3[n \times(\nabla \times n)]^2$
$$=\frac{1}{2} K_1 \sin ^2 \varphi\left(\frac{d \varphi}{d z}\right)^2+\frac{1}{2} K_3 \cos ^2 \varphi\left(\frac{d \varphi}{d z}\right)^2,$$
field-induced torques $=\varepsilon_0 \Delta \varepsilon E^2 \sin \varphi \cos \varphi$
rotation viscous torques $=\gamma_1 \frac{d \varphi}{d t}$,
flow-orientational viscous torques $=\frac{d v}{d z}\left[\alpha_2 \sin ^2 \varphi-\alpha_3 \cos ^2 \varphi\right]$.

# 光学代考

## 物理代写|光学代写Optics代考|Flows with Director Axis Reorientation

$$I \frac{d \Omega}{d t}=(n \times \vec{f}+\vec{\Gamma} \text { ext })-\vec{\Gamma} \text { vis }$$

$$\vec{\Gamma} \text { vis }=n \times\left[\gamma_1 \vec{N}+\gamma_2 A n\right]$$

$$\vec{N}=\frac{d n}{d t}-\hat{\omega} \times n$$

## 物理代写|光学代写Optics代考|Reorientation with Flow Coupling

director axis : $n=(\sin \varphi, 0, \cos \varphi)$,

$$=\frac{1}{2} K_1 \sin ^2 \varphi\left(\frac{d \varphi}{d z}\right)^2+\frac{1}{2} K_3 \cos ^2 \varphi\left(\frac{d \varphi}{d z}\right)^2$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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