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优化理论是数学的一个分支，致力于解决优化问题。优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。这些类型的问题在计算机科学和应用数学中被大量发现。
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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Interpolation by Cubic Hermite Polynomial
The interpolation of a function given by a cubic Hermite polynomial (also called cubic Hermite spline) lies on the principle that the interpolation function passes through the endpoints of the interval and possesses the same derivatives at these endpoints.
Consider a variable $t \in[0,1]$ such that the function $f(t)$ to approximate and its derivatives are given at the endpoints of the interval. Note
$$
f(t=0)=f_0, \quad f(t=1)=f_1, \quad f^{\prime}(t=0)=f_0^{\prime}, \quad f^{\prime}(t=1)=f_1^{\prime}
$$
This imposes four constraints for the interpolating function $\tilde{f}(t)$ which can thus be a polynomial of degree 3 , that is
$$
\tilde{f}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3
$$
The respect of the constraints results in the following linear system:
Numerical Methods and Optimization
23
$$
\begin{aligned}
&a_0=f_0 \
&a_0+a_1+a_2+a_3=f_1 \
&a_1=f_0^{\prime} \
&a_1+2 a_2+3 a_3=f_1^{\prime}
\end{aligned}
$$
from which the values of the polynomial coefficients are drawn
$$
\begin{aligned}
&a_0=f_0 \
&a_1=f_0^{\prime} \
&a_2=-3 f_0+3 f_1-2 f_0^{\prime}-f_1^{\prime} \
&a_3=2 f_0-2 f_1+f_0^{\prime}+f_1^{\prime}
\end{aligned}
$$
It is possible to reorder the interpolating function under the form
$$
\tilde{f}(t)=f_0\left(1-3 t^2+2 t^3\right)+f_1\left(3 t^2-2 t^3\right)+f_0^{\prime}\left(t-2 t^2+t^3\right)+f_0^{\prime}\left(-t^2+t^3\right)
$$
which is noted as
$$
\tilde{f}(t)=f_0 h_{00}(t)+f_1 h_{01}(t)+f_0^{\prime} h_{10}(t)+f_1^{\prime} h_{11}(t)
$$
where the polynomials $h_{i j}(t)$ are Hermite basis polynomials defined by
$$
\begin{aligned}
&h_{00}(t)=1-3 t^2+2 t^3 \
&h_{01}(t)=3 t^2-2 t^3 \
&h_{10}(t)=t-2 t^2+t^3 \
&h_{11}(t)=-t^2+t^3
\end{aligned}
$$
which are displayed in Figure 1.12. The interpolation here defined on $[0,1]$ of course can be extended to subintervals $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ of any domain $[a, b]$. This type of interpolation by Hermite cubic polynomials is frequently used to simulate ordinary differential equations with boundary conditions (Section 6.6) or partial differential equations (Section 7.10.2).
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Interpolation by Spline Functions
The spline functions ${ }^1$ are extremely appreciated for their quality of graphical interpolation (de Boor 1978). There exist several types of spline functions, B-splines, cubic splines, and exponential splines.
The spline functions are produced by associating to a partition $\left[a=x_1, x_2\right.$, $\ldots, x_{n-1}, b=x_n$ ] a set of piecewise polynomial functions, i.e. to each subinterval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ a different polynomial $P_i(x)$ is associated. Nevertheless, all polynomials will have the same degree. Moreover, it is possible to add a condition such that the interpolated functions $f$ coincide at right with the polynomials $P_i\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)$ except at $b$.
In this section, only the cubic splines which are the most used are described. A spline function $S(x)$ is a real function defined on the partition $\left[a=x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, b=x_n\right]$ which possesses the following properties:
- $S$ is twice continuously differentiable on $[a, b]$.
- $S$ coincides on each subinterval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$ of $[a, b]$ with a polynomial of degree 3 .
Thus, a spline function is composed of pieces of cubic polynomials connected together so that, on one side, the first derivatives and, on another side, the second derivatives coincide at the nodes.
Frequently, one of the following conditions is added to ensure the unicity of the spline function $S$ :
(a) $S^{\prime \prime}(a)=0, S^{\prime \prime}(b)=0$ (natural spline function).
(b) $S^{(k)}(a)=S^{(k)}(b)$ for $k=0,1,2 ; S$ is periodic.
(c) $S^{\prime}(a)=y_1^{\prime}, S^{\prime}(b)=y_n^{\prime}$ with $y_1^{\prime}$ and $y_n^{\prime}$ given.
An important property of spline functions is that the spline function minimizes the following norm:
$$
|f|^2=\int_a^b\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^2 d x
$$
which is thus the integral of the square of the absolute value of the curvature on the considered interval. This integral represents the energy of the spline.
The spline function can be compared to the curve drawn by a designer who takes his French curve ruler to draw by eye the best curve passing through a set of points.
On each subinterval $\left[x_i, x_{i+1}\right]$, a function $S_i(x)$ is defined so that the function $S(x)$ can be considered as the family of functions $S_i(x)$ connected on the subintervals composing the interval $[a, b]$.
最优化代写
数学代写|最优化作业代写优化理论代考|插值立方Hermite多项式
由三次埃尔米特多项式(也称为三次埃尔米特样条)给出的函数的插值，其原理是:插值函数经过区间的端点，并在这些端点处具有相同的导数
考虑一个变量$t \in[0,1]$，这样函数$f(t)$要近似，它的导数是在区间的端点处给出的。注意
$$
f(t=0)=f_0, \quad f(t=1)=f_1, \quad f^{\prime}(t=0)=f_0^{\prime}, \quad f^{\prime}(t=1)=f_1^{\prime}
$$
这对插值函数$\tilde{f}(t)$施加了四个约束，因此可以是一个3次多项式，即
$$
\tilde{f}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3
$$
约束方面的结果如下线性系统:
数值方法和优化
23
$$
\begin{aligned}
&a_0=f_0 \
&a_0+a_1+a_2+a_3=f_1 \
&a_1=f_0^{\prime} \
&a_1+2 a_2+3 a_3=f_1^{\prime}
\end{aligned}
$$
从中得出多项式系数的值
$$
\begin{aligned}
&a_0=f_0 \
&a_1=f_0^{\prime} \
&a_2=-3 f_0+3 f_1-2 f_0^{\prime}-f_1^{\prime} \
&a_3=2 f_0-2 f_1+f_0^{\prime}+f_1^{\prime}
\end{aligned}
$$
有可能在
$$
\tilde{f}(t)=f_0\left(1-3 t^2+2 t^3\right)+f_1\left(3 t^2-2 t^3\right)+f_0^{\prime}\left(t-2 t^2+t^3\right)+f_0^{\prime}\left(-t^2+t^3\right)
$$
的形式下对插值函数进行重新排序，它被标记为
$$
\tilde{f}(t)=f_0 h_{00}(t)+f_1 h_{01}(t)+f_0^{\prime} h_{10}(t)+f_1^{\prime} h_{11}(t)
$$
其中多项式$h_{i j}(t)$是由
$$
\begin{aligned}
&h_{00}(t)=1-3 t^2+2 t^3 \
&h_{01}(t)=3 t^2-2 t^3 \
&h_{10}(t)=t-2 t^2+t^3 \
&h_{11}(t)=-t^2+t^3
\end{aligned}
$$
定义的Hermite基多项式，如图1.12所示。这里定义在$[0,1]$上的插值当然可以扩展到任何域$[a, b]$的子区间$\left[x_i, x_{i+1}\right]$。这种类型的Hermite三次多项式插值经常被用于模拟具有边界条件的常微分方程(第6.6节)或偏微分方程(第7.10.2节)
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|插值的样条函数
样条函数${ }^1$因其图形插值的质量而受到高度赞赏(de Boor 1978)。样条函数有几种类型:b样条、三次样条和指数样条 样条函数是通过将一组分段多项式函数关联到一个分区$\left[a=x_1, x_2\right.$, $\ldots, x_{n-1}, b=x_n$]而产生的，即与每个子区间$\left[x_i, x_{i+1}\right]$关联一个不同的多项式$P_i(x)$。然而，所有的多项式都有相同的次数。此外，还可以添加一个条件，使插值函数$f$与多项式$P_i\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)$完全重合，除了$b$。
在本节中，只描述最常用的三次样条。样条函数$S(x)$是一个定义在分区$\left[a=x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, b=x_n\right]$上的实函数，它具有以下属性:
$S$在$[a, b]$上是二次连续可微的。 $S$在$[a, b]$的子区间$\left[x_i, x_{i+1}\right]$上与3次多项式重合。
因此，一个样条函数是由连接在一起的三次多项式组成的，在一边，一阶多项式在另一边，二阶导数在节点处重合。
通常，添加以下条件之一以确保样条函数$S$:
(a) $S^{\prime \prime}(a)=0, S^{\prime \prime}(b)=0$(自然样条函数).
(b) $S^{(k)}(a)=S^{(k)}(b)$对于$k=0,1,2 ; S$是周期性的。
(c) $S^{\prime}(a)=y_1^{\prime}, S^{\prime}(b)=y_n^{\prime}$, $y_1^{\prime}$和$y_n^{\prime}$给定。样条函数的一个重要性质是样条函数使以下范数最小化:
$$
|f|^2=\int_a^b\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^2 d x
$$
因此是在考虑的区间上曲率绝对值的平方的积分。这个积分表示样条的能量
样条函数可以与设计师用他的法国曲线尺目测通过一组点的最佳曲线所画的曲线相比较。
在每个子区间$\left[x_i, x_{i+1}\right]$上定义一个函数$S_i(x)$，这样函数$S(x)$就可以被认为是在组成区间$[a, b]$的子区间上连接的函数族$S_i(x)$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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