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优化理论是数学的一个分支，致力于解决优化问题。优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。这些类型的问题在计算机科学和应用数学中被大量发现。

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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Hermite Polynomials

Consider a set of $(n+1)$ points $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$ with $a \leq x_0 \cdots \leq x_n \leq b$. $f$ is a function of type $C^m$ (function having continuous derivatives up to order $m$ ) with $m=\max \left(m_0, \ldots, m_n\right)$ (each $m_i$ is the value of $m$ at $x_i$ ). The osculatory polynomial approximating the function $f$ is the polynomial $P(x)$ of lower degree such that
$$
\frac{d^k P\left(x_i\right)}{d x^k}=\frac{d^k f\left(x_i\right)}{d x^k} \quad \forall i=0, \ldots, n \quad \text { and } \quad \forall k=0, \ldots, m_i
$$
The polynomial and the function $f$ coincide by the value of the function and its $k$ thorder derivatives at any point $x_i$. More generally, a curve is said to be osculatory to another curve when it touches it at any point and has the same tangent line and curvature at this point.

The case $m_i=1$ corresponds to Hermite polynomials; the polynomial and the function coincide by the value of the function and the first derivative. The corresponding Hermite polynomial of degree $(2 n+1)$ is given by
$$
H_{2 n+1}(x)=\sum_{i=0}^n f\left(x_i\right) H_{n, i}(x)+\sum_{i=0}^n f^{\prime}\left(x_i\right) \hat{H}{n, i}(x) $$ with $H{n, i}(x)=\left[1-2\left(x-x_i\right) L_{n, i}^{\prime}\left(x_i\right)\right] L_{n, i}^2(x) \quad$ and $\hat{H}{n, i}(x)=\left(x-x_i\right) L{n, i}^2(x)$ where $L_{n, i}$ is the $i$ th factor $\left(L_i\right.$ of Equation (1.3.28)) of the Lagrange polynomial of degree $n$.
It is possible to show that
$$
f(x)-H_{2 n+1}(x)+\frac{\left(x-x_0\right)^2 \ldots\left(x-x_n\right)^2}{(2 n+2) !} f^{(2 n+2)}(\xi) \quad \text { with } \xi \in[a, b]
$$

if $f$ is $C^{2 n+2}$ on $[a, b]$. For that purpose, the following properties are useful:
$$
\begin{aligned}
&L_{n, i}\left(x_j\right)=0 \quad \text { if } i \neq j \
&L_{n, i}\left(x_i\right)=0
\end{aligned}
$$
hence
$$
\begin{array}{ll}
H_{n, i}\left(x_j\right)=0 & \text { if } i \neq j \
H_{n, i}\left(x_i\right)=1 & \
\hat{H}{n, i}\left(x_j\right)=0 & \text { if } i \neq j \ \hat{H}{n, i}\left(x_i\right)=0 &
\end{array}
$$
inducing the coincidence of the polynomial and the functions as well as their respective derivatives
$$
H_{2 n+1}\left(x_i\right)=f\left(x_i\right) \quad \text { and } H_{2 n+1}^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}\left(x_i\right)
$$
resulting in Equation (1.3.52).

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Chebyshev Polynomials and Irregularly Spaced Points

Suppose that the variable $x$ varies in $[-1,1]$. In this case, the interpolation polynomial $P_n(x)$ of $f(x)$ defined as a sum of monomials produces a minimum error when $x$ is close to 0 and maximum when $|x|$ is close to 1 . Thus, the error is irregularly distributed on the interval $[0,1]$. In the general case where $x \in[a, b]$, if we do a change of variable such that
$$
t=\frac{2 x-a-b}{b-a}
$$
we are brought back to the previous case with $t \in[-1,1]$.
It is interesting to find a series expansion of functions such that the error is better distributed and the maximum error is minimum.

The cosinus functions offer this type of advantage; their values are regularly spread on $[0, \pi]$. Moreover, the extreme values of two functions $\cos j \alpha$ and $\cos k \alpha$ with $j \neq k$ are in general reached for different values of $\alpha$. The cosinus function is numerically evaluated by a series. Indeed, we can use the expression of $\cos n \alpha$ with respect to $x=\cos \alpha$. Thus Chebyshev polynomials $T_i(x)=\cos (i \alpha)$ are defined by
$$
T_i(x)=\cos (i \alpha)=2 \cos (\alpha) \cos ((i-1) \alpha)-\cos ((i-2) \alpha), \quad i=0,1, \ldots \quad \text { (1.3.63) }
$$
giving the recurrence
$$
T_i(x)=2 x T_{i-1}(x)-T_{i-2}(x)
$$
In this way, we get
$$
\begin{aligned}
T_0(x) &=1 \
T_1(x) &=x \
T_2(x) &=2 x^2-1 \
T_3(x) &=4 x^3-3 x \
T_4(x) &=8 x^4-8 x^2+1 \
\ldots
\end{aligned}
$$
and reciprocally the monomials $1, x, x^2, x^3, \ldots$ are simply expressed with respect to Chebyshev polynomials
$$
1=T_0
$$
$$
\begin{aligned}
&x=T_1 \
&x^2=\frac{1}{2}\left(T_0+T_2\right) \
&x^3=\frac{1}{4}\left(3 T_1+T_3\right) \
&x^4=\frac{1}{8}\left(3 T_0+4 T_2+T_4\right)
\end{aligned}
$$

最优化代写

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|Hermite多项式

考虑一组$(n+1)$点$\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$和$a \leq x_0 \cdots \leq x_n \leq b$。$f$是一个$C^m$类型的函数(函数的连续导数到$m$)和$m=\max \left(m_0, \ldots, m_n\right)$(每个$m_i$都是$m$在$x_i$处的值)。近似于函数$f$的密切多项式是次较低的多项式$P(x)$，这样
$$
\frac{d^k P\left(x_i\right)}{d x^k}=\frac{d^k f\left(x_i\right)}{d x^k} \quad \forall i=0, \ldots, n \quad \text { and } \quad \forall k=0, \ldots, m_i
$$
多项式和函数$f$通过函数的值及其$k$阶导数在任意点$x_i$重合。更一般地说，当一条曲线与另一条曲线在任何一点上接触，并且在这一点上有相同的切线和曲率时，我们就说这条曲线与另一条曲线是密切的

案件 $m_i=1$ 对应Hermite多项式;多项式和函数通过函数的值和一阶导数重合。相应的度的埃尔米特多项式 $(2 n+1)$
$$
H_{2 n+1}(x)=\sum_{i=0}^n f\left(x_i\right) H_{n, i}(x)+\sum_{i=0}^n f^{\prime}\left(x_i\right) \hat{H}{n, i}(x) $$ 用 $H{n, i}(x)=\left[1-2\left(x-x_i\right) L_{n, i}^{\prime}\left(x_i\right)\right] L_{n, i}^2(x) \quad$ 和 $\hat{H}{n, i}(x)=\left(x-x_i\right) L{n, i}^2(x)$ 哪里 $L_{n, i}$ 是 $i$ Th因子 $\left(L_i\right.$ 式(1.3.28))的次拉格朗日多项式的 $n$
有可能表明
$$
f(x)-H_{2 n+1}(x)+\frac{\left(x-x_0\right)^2 \ldots\left(x-x_n\right)^2}{(2 n+2) !} f^{(2 n+2)}(\xi) \quad \text { with } \xi \in[a, b]
$$

如果$f$是$[a, b]$上的$C^{2 n+2}$。为此目的，以下性质是有用的:
$$
\begin{aligned}
&L_{n, i}\left(x_j\right)=0 \quad \text { if } i \neq j \
&L_{n, i}\left(x_i\right)=0
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{array}{ll}
H_{n, i}\left(x_j\right)=0 & \text { if } i \neq j \
H_{n, i}\left(x_i\right)=1 & \
\hat{H}{n, i}\left(x_j\right)=0 & \text { if } i \neq j \ \hat{H}{n, i}\left(x_i\right)=0 &
\end{array}
$$
诱导多项式和函数及其各自的导数的重合
$$
H_{2 n+1}\left(x_i\right)=f\left(x_i\right) \quad \text { and } H_{2 n+1}^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}\left(x_i\right)
$$
得到式(1.3.52)。

数学代写|最优化作业代写优化理论代考|Chebyshev多项式和不规则间隔点

假设变量$x$在$[-1,1]$中变化。在这种情况下，$f(x)$的插值多项式$P_n(x)$被定义为一个单项的和，当$x$接近0时产生最小误差，当$|x|$接近1时产生最大误差。因此，误差不规则地分布在区间$[0,1]$上。在一般情况下，$x \in[a, b]$，如果我们做一个变量的改变，使
$$
t=\frac{2 x-a-b}{b-a}
$$
，我们回到前面的情况$t \in[-1,1]$ .
有趣的是，找到一个函数的级数展开，使错误更好地分布，最大的错误是最小的 鼻窦功能提供了这种优势;他们的价值观定期在$[0, \pi]$上传播。此外，对于$\alpha$的不同值，一般都能得到两个函数$\cos j \alpha$和$\cos k \alpha$加上$j \neq k$的极值。用一系列的数值方法求出了共窦函数的值。实际上，我们可以用$\cos n \alpha$来表示$x=\cos \alpha$。因此切比雪夫多项式$T_i(x)=\cos (i \alpha)$由
$$
T_i(x)=\cos (i \alpha)=2 \cos (\alpha) \cos ((i-1) \alpha)-\cos ((i-2) \alpha), \quad i=0,1, \ldots \quad \text { (1.3.63) }
$$
给出递归式
$$
T_i(x)=2 x T_{i-1}(x)-T_{i-2}(x)
$$
这样，我们得到
$$
\begin{aligned}
T_0(x) &=1 \
T_1(x) &=x \
T_2(x) &=2 x^2-1 \
T_3(x) &=4 x^3-3 x \
T_4(x) &=8 x^4-8 x^2+1 \
\ldots
\end{aligned}
$$
，反过来，单项$1, x, x^2, x^3, \ldots$简单地表示为切比雪夫多项式
$$
1=T_0
$$
$$
\begin{aligned}
&x=T_1 \
&x^2=\frac{1}{2}\left(T_0+T_2\right) \
&x^3=\frac{1}{4}\left(3 T_1+T_3\right) \
&x^4=\frac{1}{8}\left(3 T_0+4 T_2+T_4\right)
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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