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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|МАТН-289

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Fixed point theorems

Let $X$ be a real vector space. A norm on $X$ is a map $|\cdot|: X \rightarrow[0, \infty)$ satisfying the following requirements:
(i) $|0|=0,|x|>0$ for $x \in X \backslash{0}$.
(ii) $|\lambda x|=|\lambda||x|$ for $\lambda \in \mathbb{R}$ and $x \in X$.
(iii) $|x+y| \leq|x|+|y|$ for $x, y \in X$ (triangle inequality).
The pair $(X,||$.$) is called a normed vector space. Given a normed$ vector space $X$, we have the concept of convergence and of a Cauchy sequence in this space. The normed vector space is called complete if every Cauchy sequence converges. A complete normed vector space is called a Banach space.

Clearly $\mathbb{R}^n\left(\right.$ or $\mathbb{C}^n$ ) is a Banach space with the usual Euclidean norm
$$
|x|=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left|x_j\right|^2}
$$
We will be mainly interested in the following example: Let $I$ be a compact interval and consider the continuous functions $C(I)$ on this interval. They form a vector space if all operations are defined pointwise. Moreover, $C(I)$ becomes a normed space if we define
$$
|x|=\sup {t \in I}|x(t)| . $$ I leave it as an exercise to check the three requirements from above. Now what about convergence in this space? A sequence of functions $x_n(t)$ converges to $x$ if and only if $$ \lim {n \rightarrow \infty}\left|x_n-x\right|=\lim {n \rightarrow \infty} \sup {t \in I}\left|x_n(t)-x(t)\right|=0 .
$$
That is, in the language of real analysis, $x_n$ converges uniformly to $x$. Now let us look at the case where $x_n$ is only a Cauchy sequence. Then $x_n(t)$ is clearly a Cauchy sequence of real numbers for any fixed $t \in I$. In particular, by completeness of $\mathbb{R}$, there is a limit $x(t)$ for each $t$. Thus we get a limiting function $x(t)$. Moreover, letting $m \rightarrow \infty$ in
$$
\left|x_n(t)-x_m(t)\right| \leq \varepsilon \quad \forall n, m>N_{\varepsilon}, t \in I
$$
we see
$$
\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon \quad \forall n>N_{\varepsilon}, t \in I,
$$
that is, $x_n(t)$ converges uniformly to $x(t)$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The basic existence and uniqueness result

Now we want to use the preparations of the previous section to show existence and uniqueness of solutions for the following initial value problem (IVP)
$$
\dot{x}=f(t, x), \quad x\left(t_0\right)=x_0 .
$$
We suppose $f \in C\left(U, \mathbb{R}^n\right)$, where $U$ is an open subset of $\mathbb{R}^{n+1}$ and $\left(t_0, x_0\right) \in$ $U$

First of all note that integrating both sides with respect to $t$ shows that (2.11) is equivalent to the following integral equation
$$
x(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) d s .
$$

At first sight this does not seem to help much. However, note that $x_0(t)=x_0$ is an approximating solution at least for small $t$. Plugging $x_0(t)$ into our integral equation we get another approximating solution
$$
x_1(t)=x_0+\int_{t_0}^t f\left(s, x_0(s)\right) d s .
$$
Iterating this procedure we get a sequence of approximating solutions
$$
x_n(t)=K^n\left(x_0\right)(t), \quad K(x)(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) d s .
$$
Now this observation begs us to apply the contraction principle from the previous section to the fixed point equation $x=K(x)$, which is precisely our integral equation $(2.12)$.

We will set $t_0=0$ for notational simplicity and consider only the case $t \geq$ 0 to avoid excessive numbers of absolute values in the following estimates.
First of all we will need a Banach space. The obvious choice is $X=$ $C\left(I, \mathbb{R}^n\right)$, where $I=[0, T]$ is some suitable interval containing $t_0=0$. Furthermore, we need a closed subset $C \subseteq X$ such that $K: C \rightarrow C$. We will try a closed ball of radius $\delta$ around $x_0$, where $\delta>0$ has to be determined.
Choose $V=[0, T] \times \overline{B_\delta\left(x_0\right)} \subset U$, where $B_\delta\left(x_0\right)=\left{x \in \mathbb{R}^n|| x-x_0 \mid<\delta\right}$. Then
$$
\left|K(x)(t)-x_0\right| \leq \int_0^t|f(s, x(s))| d s \leq t \max {(t, x) \in V}|f(t, x)| $$ (here the maximum exists by continuity of $f$ and compactness of $V$ ) whenever the graph of $x$ lies within $V$, that is, ${(t, x(t)) \mid t \in[0, T]} \subset V$. Hence, for $t \leq T_0$, where $$ T_0=\min \left(T, \frac{\delta}{M}\right), \quad M=\max {(t, x) \in V}|f(t, x)|,
$$
we have $T_0 M \leq \delta$ and the graph of $K(x)$ is again in $V$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|МАТН-289

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Fixed point theorems

让 $X$ 是一个实向量空间。一个规范 $X$ 是一张地图|· $\mid: X \rightarrow[0, \infty)$ 满足以下要求:
(i) $|0|=0,|x|>0$ 为了 $x \in X \backslash 0$.
(二) $|\lambda x|=|\lambda||x|$ 为了 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $x \in X$. (三) $|x+y| \leq|x|+|y|$ 为了 $x, y \in X$ (三角不等式)。
这对 $(X,||$.$) iscalledanormedvectorspace. Givenanormed向量空间 X$ ,我们在这个空间中有收敛和柯西序列的概念。如果每个 Cauchy 序列都收敛,则范数向 豊空间称为完整的。一个完整的范数向量空间称为 Banach 空间。
清楚地 $\mathbb{R}^n\left(\right.$ 或者 $\mathbb{C}^n$ ) 是具有通常欧几里得范数的 Banach 空间
$$
|x|=\sqrt{\sum_{j=1}^n\left|x_j\right|^2}
$$
我们将主要对以下示例感兴趣: 让 $I$ 是一个紧区间并考虑连续函数 $C(I)$ 在这个区间。如果所有操作都是逐点定义的,则它们形成一个向量空间。而且, $C(I)$ 如果我 们定义,则成为规范空间
$$
|x|=\sup t \in I|x(t)| .
$$
我把它作为一个练习来检查上面的三个要求。现在这个领域的融合又如何呢? 一系列函数 $x_n(t)$ 收敛到 $x$ 当且仅当
$$
\lim n \rightarrow \infty\left|x_n-x\right|=\lim n \rightarrow \infty \sup t \in I\left|x_n(t)-x(t)\right|=0 .
$$
也就是说,用真实分析的语言, $x_n$ 均匀地收敛到 $x$. 现在让我们看一下案例 $x_n$ 只是一个柯西序列。然后 $x_n(t)$ 显然是任意固定实数的柯西序列 $t \in I$. 特别是,通过完 整性 $\mathbb{R}$, 有限制 $x(t)$ 对于每个 $t$. 因此我们得到一个限制函数 $x(t)$. 此外,让 $m \rightarrow \infty$ 在
$$
\left|x_n(t)-x_m(t)\right| \leq \varepsilon \quad \forall n, m>N_{\varepsilon}, t \in I
$$
我们看
$$
\left|x_n(t)-x(t)\right| \leq \varepsilon \quad \forall n>N_{\varepsilon}, t \in I,
$$
那是, $x_n(t)$ 均匀地收敛到 $x(t)$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The basic existence and uniqueness result

现在我们想利用上一节的准备工作来证明以下初始值问题 (IVP) 的解的存在性和唯一性
$$
\dot{x}=f(t, x), \quad x\left(t_0\right)=x_0 .
$$
我们假设 $f \in C\left(U, \mathbb{R}^n\right)$ ,在哪里 $U$ 是的一个开子集 $\mathbb{R}^{n+1}$ 和 $\left(t_0, x_0\right) \in U$
首先请注意,整合双方相对于 $t$ 表明 (2.11) 等价于以下积分方程
$$
x(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) d s .
$$
作一看,这似乎没有多大帮助。但是,请注意 $x_0(t)=x_0$ 是一个近似解,至少对于小 $t$. 堵塞 $x_0(t)$ 进入我们的积分方程,我们得到另一个近似解
$$
x_1(t)=x_0+\int_{t_0}^t f\left(s, x_0(s)\right) d s .
$$
迭代这个过程,我们得到一系列近似解
$$
x_n(t)=K^n\left(x_0\right)(t), \quad K(x)(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x(s)) d s .
$$
现在这个观䕓要求我们将上一节的收缩原理应用于不动点方程 $x=K(x)$ ,这正是我们的积分方程(2.12).
我们将设置 $t_0=0$ 为了符号简单,只考虑这种情况 $t \geq 0$ 以避免在以下估计中出现过多的绝对值。
首先,我们需要一个 Banach 空间。显而易见的选择是 $X=C\left(I, \mathbb{R}^n\right)$ ,在哪里 $I=[0, T]$ 是一些合适的区间包含 $t_0=0$. 此外,我们需要一个封闭的子集 $C \subseteq X$ 这
样 $K: C \rightarrow C$. 我们将尝试一个封闭的半径球 $\delta$ 大约 $x_0$ ,在哪里 $\delta>0$ 必须确定。
$$
\left|K(x)(t)-x_0\right| \leq \int_0^t|f(s, x(s))| d s \leq t \max (t, x) \in V|f(t, x)|
$$
(这里最大值存在于连续性 $f$ 和紧牶性 $V$ ) 每当图 $x$ 位于内 $V$ ,那是, $(t, x(t)) \mid t \in[0, T] \subset V$. 因此,对于 $t \leq T_0$ ,在哪里
$$
T_0=\min \left(T, \frac{\delta}{M}\right), \quad M=\max (t, x) \in V|f(t, x)|,
$$

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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