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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|МATH-3303

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The matrix exponential

We begin with the study of the autonomous linear first-order system
$$
\dot{x}(t)=A x(t), \quad x(0)=x_0,
$$
where $A$ is an $n$ by $n$ matrix. If we perform the Picard iteration we obtain
$$
\begin{aligned}
x_0(t) &=x_0 \
x_1(t) &=x_0+\int_0^t A x_0(s) d s=x_0+A x_0 \int_0^t d s=x_0+t A x_0 \
x_2(t) &=x_0+\int_0^t A x_1(s) d s=x_0+A x_0 \int_0^t d s+A^2 x_0 \int_0^t s d s \
&=x_0+t A x_0+\frac{t^2}{2} A^2 x_0
\end{aligned}
$$
and hence by induction
$$
x_m(t)=\sum_{j=0}^m \frac{t^j}{j !} A^j x_0
$$
The limit as $m \rightarrow \infty$ is given by
$$
x(t)=\lim {m \rightarrow \infty} x_m(t)=\sum{j=0}^{\infty} \frac{t^j}{j !} A^j x_0 .
$$
In the one dimensional case $(n=1)$ this series is just the usual exponential and hence we will write
$$
x(t)=\exp (t A) x_0,
$$

where we define the matrix exponential by
$$
\exp (A)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j !} A^j .
$$
Hence, in order to understand our original problem, we have to understand the matrix exponential! The Picard iteration ensures convergence of $\exp (A) x_0$ for every vector $x_0$ and choosing the canonical basis vectors of $\mathbb{R}^n$ we see that all matrix elements converge. However, for later use we want to introduce a suitable norm for matrices and give a direct proof for convergence of the above series in this norm.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear autonomous first-order systems

In the previous section we have seen that the solution of the autonomous linear first-order system (3.1) is given by
$$
x(t)=\exp (t A) x_0 .
$$
In particular, the map $\exp (t A)$ provides an isomorphism between all initial conditions $x_0$ and all solutions. Hence the set of all solutions is a vector space isomorphic to $\mathbb{R}^n$ (respectively $\mathbb{C}^n$ if we allow complex initial values).
In order to understand the dynamics of the system (3.1), we need to understand the properties of the function $\exp (t A)$. We will start with the case of two dimensions which covers all prototypical cases. Furthermore, we will assume $A$ as well as $x_0$ to be real-valued.

In this situation there are two eigenvalues, $\alpha_1$ and $\alpha_2$, which are either both real or otherwise complex conjugates of each other. We begin with the generic case where $A$ is diagonalizable and hence there are two linearly independent eigenvectors, $u_1$ and $u_2$, which form the columns of $U$. In particular,
$$
U^{-1} A U=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_1 & 0 \
0 & \alpha_2
\end{array}\right)
$$
and the solution (3.23) is given by
$$
x(t)=U \exp \left(t U^{-1} A U\right) U^{-1} x_0=U\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{e}^{\alpha_1 t} & 0 \
0 & \mathrm{e}^{\alpha_2 t}
\end{array}\right) U^{-1} x_0 .
$$
Abbreviating $y_0=U^{-1} x_0=\left(y_{0,1}, y_{0,2}\right)$ we obtain
$$
x(t)=y_{0,1} \mathrm{e}^{\alpha_1 t} u_1+y_{0,2} \mathrm{e}^{\alpha_2 t} u_2 .
$$
In the case where both eigenvalues are real, all quantities in (3.26) are real. Otherwise we have $\alpha_2=\alpha_1^$ and we can assume $u_2=u_1^$ without loss of generality. Let us write $\alpha_1 \equiv \alpha=\lambda+\mathrm{i} \omega$ and $\alpha_2 \equiv \alpha^*=\lambda-\mathrm{i} \omega$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|МATH-3303

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|The matrix exponential

我们从研究自治线性一阶系统开始
$$
\dot{x}(t)=A x(t), \quad x(0)=x_0,
$$
在哪里 $A$ 是一个 $n$ 经过 $n$ 矩阵。如果我们执行 Picard 迭代,我们得到
$$
x_0(t)=x_0 x_1(t) \quad=x_0+\int_0^t A x_0(s) d s=x_0+A x_0 \int_0^t d s=x_0+t A x_0 x_2(t)=x_0+\int_0^t A x_1(s) d s=x_0+A x_0 \int_0^t d s+A^2 x_0 \int_0^t s d s \quad=x_0+
$$
因此通过归纳
$$
x_m(t)=\sum_{j=0}^m \frac{t^j}{j !} A^j x_0
$$
限制为 $m \rightarrow \infty$ 是 (准) 给的
$$
x(t)=\lim m \rightarrow \infty x_m(t)=\sum j=0^{\infty} \frac{t^j}{j !} A^j x_0 .
$$
在一维情况下 $(n=1)$ 这个系列只是通常的指数,因此我们将写
$$
x(t)=\exp (t A) x_0,
$$
我们定义矩阵指数的地方
$$
\exp (A)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j !} A^j .
$$
因此,为了理解我们最初的问题,我们必须理解矩阵指数! Picard 迭代确保收敛 $\exp (A) x_0$ 对于每个向量 $x_0$ 并选择的规范基向量退 ${ }^n$ 我们看到所有的矩阵元素都收敛 了。但是,为了以后的使用,我们想为矩阵引入一个合适的范数,并直接证明上述级数在这个范数中的收敛性。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Linear autonomous first-order systems

在上一节中,我们已经看到自治线性一阶系统 (3.1) 的解由下式给出
$$
x(t)=\exp (t A) x_0 .
$$
为了理解系统的动力学 $(3.1)$ ,我们需要了解函数的性质 $\exp (t A)$. 我们将从涵盖所有原型案例的二维案例开始。此外,我们将假设 $A$ 也 $x_0$ 是真正有价值的。
在坟种情况下,有两个特征值, $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ,它们要么是实数,要么是彼此的复共轭。我们从一般情况开始 $A$ 是可对角化的,因此有两个线性独立的特征向量, $u_1$ 和 $u_2$ ,它们形成的列 $U$. 尤其是,
并且解决方案 (3.23) 由下式给出
缩写 $y_0=U^{-1} x_0=\left(y_{0,1}, y_{0,2}\right)$ 我们获得
$$
x(t)=y_{0,1} \mathrm{e}^{\alpha_1 t} u_1+y_{0,2} \mathrm{e}^{\alpha_2 t} u_2 .
$$
在两个特征值都是实数的情况下,(3.26) 中的所有量都是实数。否则我们有缺少上标或下标参数 缺少上标或下标参数
不失一般性。让我们写 $\alpha_1 \equiv \alpha=\lambda+\mathrm{i} \omega$ 和 $\alpha_2 \equiv \alpha^*=\lambda-\mathrm{i} \omega$.

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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