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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|DIFFERENCE APPROXIMATIONS AND TRUNCATION ERRORS

In order to understand the application of the finite difference method to the solution of differential equations, let us consider a simple second-order linear ordinary differential equation (ODE) of the following form:
$$
\frac{d^2 \phi}{d x^2}=S_\phi,
$$
where $\phi$ is the dependent variable or unknown that needs to be determined via solution of the differential equation. The independent variable, on the other hand, is denoted by $x$. The quantity, $S_\phi$, on the right-hand side of Eq. (2.1), could be, in general, a function of both the independent and dependent variables, i.e., $S_\phi=S_\phi(x, \phi)$. This term is often referred to as the source term or source. If the functional dependence of $S_\phi$ is nonlinear, then Eq. (2.1) would be nonlinear. Otherwise, Eq. (2.1) would be a linear ODE. For the discussion at hand, let us assume that $S_\phi$ is such that Eq. (2.1) is linear. Since Eq. (2.1) is a second-order ODE, it will also require two boundary conditions in $x$. Let us assume that the boundary conditions are given by
$$
\begin{aligned}
&\phi\left(x_{\mathrm{L}}\right)=\phi_{\mathrm{L}}, \
&\phi\left(x_{\mathrm{R}}\right)=\phi_{\mathrm{R}},
\end{aligned}
$$
where $x_{\mathrm{L}}$ and $x_{\mathrm{R}}$ denote values of $x$ at the left and right ends of the domain of interest, respectively. For the discussion at hand, the type of boundary condition being applied is not relevant. Rather, the fact that these conditions are posed on the two ends is the only point to be noted.

One critical point to note is that Eq. (2.1) is valid in the open interval $\left(x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right)$, not in the closed interval $\left[x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right]$. At the end points of the domain, only the boundary conditions are valid. Let us now consider the steps that are undertaken to obtain a closedform analytical solution to Eq. (2.1) subject to the boundary conditions given by Eq. (2.2). For simplicity, we will assume that $S_\phi=0$. Integrating Eq. (2.1) twice, we obtain $\phi(x)=C_1 x+C_2$, where $C_1$ and $C_2$ are the undetermined constants of integration. To determine these two constants, we generally substitute the two boundary conditions [Eq. (2.2)] into $\phi(x)=C_1 x \perp C_2$ and solve for $C_1$ and $C_2$. This procedure has the underlying assumption that the second derivative of $\phi$ is continuous in the closed interval $\left[x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right]$, and therefore, the validity of the governing equation is implied to extend to the end points of the domain. In principle, this may not always be the case, and strictly speaking, the boundary conditions [Eq. (2.1)] should be interpreted as follows.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|GENERAL PROCEDURE FOR DERIVING DIFFERENCE APPROXIMATIONS

In the preceding section, derivation of a central difference approximation to the second derivative was presented. The procedure was relatively straightforward to grasp because the nodal spacing used was uniform, and only three points in the stencil were used. In general, however, several important questions need to be addressed before one can concoct a foolproof recipe for deriving difference approximations. These questions include the following:

  1. Is there a relationship between the order of the derivative to be derived and the number of Taylor series expansions that may be used?
  2. What should be the pivot point in the Taylor series expansions? For example, in Eq. (2.6), why did we expand $\phi_{i+1}$ and $\phi_{i-1}$ about $\phi_i$ and not the other way around?
  3. Given the derivative order and the number of Taylor series expansions to be used, can we predict $a$ priori what the order of the resulting error will be?

There are a minimum number of Taylor series expansions one must use to derive an expression for the derivative of a certain order. For example, with just two nodes of the stencil and one Taylor series expansion, it is impossible to derive an expression for the second derivative. A minimum of two Taylor series expansions and three nodes must be used. In general, to derive an expression for the $m$-th derivative, at least $m$ Taylor series expansions and $m+1$ nodes must be used. The order of the error, $n$, using the minimum number of Taylor series expansions would be greater than or equal to 1 . For example, the central difference scheme employed two Taylor series expansions, i.e., the bare minimum, but resulted in a second-order error. This is because in this particular case, with equal grid spacing the third derivative containing terms fortuitously cancelled out. If more than the bare minimum number of Taylor series expansions is used, it is possible to increase the order of the error by manipulating the expansions to the Taylor series expansion is performed, is dictated by the objective of the derivation. For example, in the derivation presented in Section 2.1, the pivot point used was the node $i$ because the second derivative was sought at that node.

Some of the rules of thumb just discussed are brought to light by the example that follows. It highlights a general procedure for deriving a difference approximation.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|MATH1470

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|DIFFERENCE APPROXIMATIONS AND TRUNCATION ERRORS

为了理解有限差分法在求解微分方程中的应用,让我们考虑一个简单的二阶线性常微分方程 (ODE),其形式如下:
$$
\frac{d^2 \phi}{d x^2}=S_\phi,
$$
在哪里 $\phi$ 是需要通过微分方程的解来确定的因变量或末知数。另一方面,自变量表示为 $x$. 数量, $S_\phi$ ,在等式的右侧。(2.1),通常可以是自变量和因变量的函数, 即 $S_\phi=S_\phi(x, \phi)$. 该术语通常被称为来源术语或来源。如果函数依赖 $S_\phi$ 是非线性的,那么方程。(2.1) 将是非线性的。否则,方程式。(2.1) 将是一个线性 $\mathrm{ODE}$ 。对 于手头的讨论,让我们假设 $S_\phi$ 是这样的,方程式。(2.1) 是线性的。由于方程。(2.1) 是二阶 ODE,它还需要两个边界条件 $x$. 让我们假设边界条件由下式给出
$$
\phi\left(x_{\mathrm{L}}\right)=\phi_{\mathrm{L}}, \quad \phi\left(x_{\mathrm{R}}\right)=\phi_{\mathrm{R}},
$$
在哪里 $x_{\mathrm{L}}$ 和 $x_{\mathrm{R}}$ 表示的值 $x$ 分别位于感兴趣域的左端和右端。对于手头的讨论,所应用的边界条件的类型无关紧要。相反,这些条件位于两端的事实是唯一需要注意 的一点。
需要注意的一个关键点是方程式。(2.1) 在开区间有效 $\left(x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right)$, 不在闭区间 $\left[x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right]$. 在域的端点,只有边界条件是有效的。现在让我们考虑为获得方程的封闭式解 析解所采取的步際。(2.1) 受限于方程给出的边界条件。(2.2)。为简单起见,我们假设 $S_\phi=0$. 积分方程。(2.1) 两次,我们得到 $\phi(x)=C_1 x+C_2$ ,在哪里 $C_1$ 和 $C_2$ 是积分的末定常数。为了确定这两个常数,我们通常替换两个边界条件 [Eq. (2.2)] 成 $\phi(x)=C_1 x \perp C_2$ 并解决 $C_1$ 和 $C_2$. 这个过程有一个基本的假设是二阶导数 $\phi$ 在 闭区间内连续 $\left[x_{\mathrm{L}}, x_{\mathrm{R}}\right]$ ,因此,控制方程的有效性被暗示延伸到域的端点。原则上,情况可能并非总是如此,严格来说,边界条件 [Eq. (2.1)] 应解释如下。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|GENERAL PROCEDURE FOR DERIVING DIFFERENCE APPROXIMATIONS

在上一节中,介绍了对二阶导数的中心差分近似的推导。该过程相对容易掌握,因为使用的节点间距是均匀的,并且仅使用了模板中的三个点。然而,一般来说,需要解决几个重要问题,然后才能设计出一种万无一失的方法来推导差分近似值。这些问题包括:

  1. 要导出的导数的阶数和可以使用的泰勒级数展开的数量之间是否存在关系?
  2. 泰勒级数展开中的支点应该是什么?例如,在方程式中。(2.6),我们为什么要展开φ一世+1和φ一世−1关于φ一世而不是相反?
  3. 给定导数阶和要使用的泰勒级数展开的数量,我们可以预测一个先验结果错误的顺序是什么?

必须使用最小数量的泰勒级数展开来导出特定阶导数的表达式。例如,只有模板的两个节点和一个泰勒级数展开,就不可能推导出二阶导数的表达式。必须使用至少两个泰勒级数展开式和三个节点。一般来说,要导出一个表达式米-th 导数,至少米泰勒级数展开和米+1必须使用节点。错误的顺序,n,使用泰勒级数展开的最小数量将大于或等于 1 。例如,中心差分方案采用了两个泰勒级数展开,即最小限度,但导致二阶误差。这是因为在这种特殊情况下,在网格间距相等的情况下,包含项的三阶导数偶然抵消了。如果使用的泰勒级数展开的数量超过了最小数量,则可以通过操作执行泰勒级数展开的展开来增加误差的阶数,这取决于推导的目标。例如,在 2.1 节介绍的推导中,使用的枢轴点是节点一世因为在该节点处寻求二阶导数。

下面的示例揭示了刚刚讨论的一些经验法则。它强调了推导差分近似值的一般过程。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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