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## 数学代写|概率论代写Probability theory代考|Polya Criterion

If the following conditions are met:
1) $\psi(0)=1$
2) $\psi(t)$ – continuous function
3) $\psi(t)$ – even function
4) $\psi(t)$ – convex on the positive semiaxis
5) $\lim \psi(t)=0$ for $t \rightarrow \infty$,
then $\psi(t)$ is a characteristic function.
Comment. We also note that we can give a somewhat more general than
5) condition in this criterion, replacing it with the relation
$\lim (t)=p$ for $t \rightarrow \infty$, where $0 \leq p \leq 1$.
The proof of the Polya criterion uses the above fact (see (3.2.29)), consisting the fact that the triangular function described by the equalities $\psi(t)=1-t$, if $-1 \leq t \leq 1$, and $\psi(t)=0$ if $|t|>1$, is characteristic. We immediately obtain that the following triangular functions
$\psi_A(t)=\psi(A t)$ us also characteristic function for any $A>0$.

Turning to a probabilistic mixture
$$\psi(t)=p_1 \psi_A(t)+p_2 \psi_B(t)$$
where $p_1+p_2=1, \psi_A(t)$ and $\psi_B(t$ are two characteristic functions then $\psi(t)$ will be a characteristic functuin,. The same kind of mixtures of a finite number of different triangular characteristic functions are considered, and then with their help, passing from a finite to an infinite number of functions that make up these mixtures, one can obtain any function described in the Polya statement.

If we recall the above remark, in which condition (3.2.42) appears, then we can, comparing the following two obviously characteristic functions, one of which tends to zero at infinity, and the second tends to some $p(0<p<1)$, get an example of characteristic functions that coincide only on some finite interval.

On the other hand, returning to the characteristic functions $\psi(t)$ and $\psi_B(t)$ indicated above, $0<A<B$, we see that the values of these functions coincide everywhere, except for values at two finite intervals $(-B, 0)$ and $(0, B)$

The above constructions of characteristic functions allow one to obtain an interesting result.

## 数学代写|概率论代写Probability theory代考|ARCSINE DISTRIBUTION

A random variable $\mathrm{X}$ is said to have arcsine distribution if its $\operatorname{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ is as follows.
$$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x(1-x))}} .$$
The pdf of arcsine distribution is given in Figure 4.1.

Mean $=\frac{1}{2}$
Variance $-\frac{1}{8}$
$$\mathrm{E}\left(X^n\right)=\frac{(2 n) !}{4^n(n !)^2}$$
Moment generating function $\mathrm{M}(\mathrm{t})=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^{k} !} \frac{(2 k) !}{k ! k !} t^k$
Characteristic function $\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k} \frac{(2 k) !}{k ! k !}(i t)^k$

# 概率论代考

## 数学代写|概率论代写Probability theory代考|Polya Criterion

1) $\psi(0)=1$
2) $\psi(t)-$ 连续函数
3) $\psi(t)-$ 偶数函数
4) $\psi(t)-$ 在正半轴上凸出
5) $\lim \psi(t)=0$ 为了 $t \rightarrow \infty$,

5) 更一般的条件，将其替换为关系
$\lim (t)=p$ 为了 $t \rightarrow \infty$ ，在哪里 $0 \leq p \leq 1$.
Polya 准则的证明使用上述事实 (见 (3.2.29))，包括由等式描述的三角函数的事实 $\psi(t)=1-t$ ，如果 $-1 \leq t \leq 1$ ，和 $\psi(t)=0$ 如果 $|t|>1$ ，是特征。我们立 即得到以下三角函数
$\psi_A(t)=\psi(A t)$ 我们还具有任何特征的功能 $A>0$.

$$\psi(t)=p_1 \psi_A(t)+p_2 \psi_B(t)$$

## 数学代写|概率论代写Probability theory代考|ARCSINE DISTRIBUTION

$$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x(1-x))}} .$$

$$\mathrm{E}\left(X^n\right)=\frac{(2 n) !}{4^n(n !)^2}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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