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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT7614

数学代写|概率论代写Probability theory代考|CHARACTERISTIC FUNCTIONS AND THEIR PROPERTIES

In the previous section we introduced the reader to the generating functions. They make it possible to simplify the solution of a number of probabilistic problems. In particular, the generating functions help relatively easily obtain various moment characteristics of random variables which will be used in the future when studying variances and other moments. However, it should be noted that these functions have some limited use and are used for a very limited albeit quite important set of discrete random variables. The main convenient properties of generating functions have inherited the socalled characteristic functions which are already defined for any probability distributions. We note that almost always the relations obtained for the characteristic functions remain valid (as amended) for generating functions. Therefore, we restrict ourselves to a more detailed study of the useful properties of the characteristic functions.

Consider an arbitrary random variable $\xi$ having some distribution function $\mathrm{F}(x)$. The characteristic function $\psi(t)$ of this random variable is given by
$$
\psi(t)=E\left(e^{i t \xi}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \mathrm{dF}(\mathrm{x}) .-\infty<t<\infty .
$$

For discrete random variable $\xi$ taking values $x_k,=1,2, \ldots$, with the corresponding probabilities $p_k=P\left{\xi=x_k\right}$ definition (3.2.1) can be rewritten in the form
$$
\psi(t)=\sum_k \exp \left(i t x_k\right) p_k .
$$
Equality (3.2.2) allows for random variables taking only integer nonnegative values, i.e., having some generating function $P(s)$ as follows connect these two related functions:
$$
\psi(t)=P(\exp (i t))
$$
If $\xi$ has some distribution density $f(x)$ then we obtain that
$$
\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \exp (i t x) f(x) d x
$$
The reader may be confused by the fact that introducing random variables, we defined them as some measurable functions that take real values, and when considering a new object, we are already dealing with complex-valued functions $\exp (i t \xi)$. In this case, it would be possible to specifically introduce such an object as complex-valued random variables but it is easier giving a definition of a characteristic function to give its alternative notation in the form
$$
\psi(t)=E \cos (t \xi)+i E \sin (t \xi),
$$
where the real and imaginary parts of $f(t)$ are already presented in the form of mathematical expectations of completely “legitimate” (real-valued for each fixed value of the parameter $t$ ) random variables $\cos (t \xi)$ and $\sin (t \xi)$.
Here are a few properties of characteristic functions that often make it easier to work with random variables and their moment characteristics.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Functions and Polya Criterion

The characteristic functions of those distributions that can be attributed to the category of classical and more often used others were given above. A number of operations can significantly expand the set of characteristic functions.

It was already noted in (3.2.10) that if $\eta=-\xi$, then $\psi_{\xi}(\mathrm{t})=\psi_{\xi}(-\mathrm{t})=$ $\overline{\psi_{\xi}(t)}$

Often, in order not to work with complex-valued functions, the so-called symmetrization operation is used. In this case, instead of the initial random variable $\xi$, the difference $\mu=\xi-\eta$ is considered, in which the quantities $\xi$ and $\eta$ are independent and have the same distribution. Even if the corresponding characteristic function $\psi(t)$ of these variables was complex, then the characteristic function of the difference $\mu=\xi-\eta$ has the form $\psi(t) \psi(-t)=|\psi(t)|^2$, i.e., becomes real-valued. Having performed a series of operations with the sums of the thus symmetrized random terms and obtained some results for such sums, we can transfer these results for the sums of the initial (considered before the symmetrization operation) random variables.

We note one more possibility to significantly increase the set of functions that are characteristic.

Let us deal with a set of distribution functions $f_k(x), k=1,2, \ldots$. It is easy to verify that any mixture of these functions with non-negative weights $p_1, p_2, \ldots$, the sum of which is unity, i.e., function
$$
F(x)=\sum_k p_k F_k(x)
$$
is a distribution function with the corresponding characteristic functions $\psi_k(t), k=1,2, \ldots$, we obtain a similar result for them, i.e., any linear combination $$
\psi(t)=\sum_k p_k \psi(t)
$$
with the above non-negative weights is a characteristic function. This fact and the desire to significantly expand the set of real characteristic functions made it possible to describe a fairly rich set of such functions. This is the socalled Polya criterion. The following result holds.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT7614

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|CHARACTERISTIC FUNCTIONS AND THEIR PROPERTIES

在上一节中,我们向读者介绍了生成函数。它们使简化许多概率问题的解决方案成为可能。特别是,生成函数有助于相对容易地获得随机变量的各种矩特征,这 些特征将在将来研究方差和其他矩时使用。但是,应该注意的是,这些函数的用途有限,并且用于非常有限但非常重要的一组离散随机变量。生成函数的主要方 便属性继承了已经为任何概率分布定义的所谓特征函数。我们注意到,为特征函数获得的关系几乎总是对生成函数保持有效 (经修正)。所以,
考虑一个任意随机变量 $\xi$ 具有一定的分布功能 $\mathrm{F}(x)$. 特征函数 $\psi(t)$ 这个随机变量由下式给出
$$
\psi(t)=E\left(e^{i t \xi}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \mathrm{dF}(\mathrm{x}) .-\infty<t<\infty .
$$
对于离散随机变量 $\xi$ 取值 $x_k,=1,2, \ldots$, 对应的概率 $\backslash 1 e f t$ 的分隔符缺失或无法识别
$$
\psi(t)=\sum_k \exp \left(i t x_k\right) p_k .
$$
定义 (3.2.1) 可以改写为
等式 $(3.2 .2)$ 允许随机变量只取整数非负值,即具有一些生成函数 $P(s)$ 如下连接这两个相关函数:
$$
\psi(t)=P(\exp (i t))
$$
如果 $\xi$ 有一定的分布密度 $f(x)$ 然后我们得到
$$
\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \exp (i t x) f(x) d x
$$
读者可能会因为引入随机变量而感到困惑,我们将它们定义为一些取实值的可测量函数,而在考虑新对象时,我们已经在处理复值函数 $\exp (i t \xi)$. 在这种情况 下,可以专门引入这样一个对象作为复值随机变量,但更容易给出特征函数的定义以给出其形式的替代符号
$$
\psi(t)=E \cos (t \xi)+i E \sin (t \xi),
$$
其中实部和虚部 $f(t)$ 已经以完全”合法”的数学期望的形式呈现 (参数的每个固定值的实值 $t$ ) 随机变量 $\cos (t \xi)$ 和 $\sin (t \xi)$ ).
以下是特征函数的一些属性,它们通常使处理随机变量及其矩特征变得更容易。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Functions and Polya Criterion

上面给出了可以归因于经典类别和更常用的其他类别的那些分布的特征函数。许多操作可以显着扩展特征函数集。
在 (3.2.10) 中已经指出,如果 $\eta=-\xi$ ,然后 $\psi_{\xi}(\mathrm{t})=\psi_{\xi}(-\mathrm{t})=\overline{\psi_{\xi}(t)}$
通常,为了不使用复值函数,使用所谓的对称化操作。在这种情况下,而不是初始随机变量 $\xi$ ,区别 $\mu=\xi-\eta$ 考虑到,其中的数量 $\xi$ 和 $\eta$ 是独立的并且具有相同 的分布。即使对应的特征函数 $\psi(t)$ 这些变量是复杂的,那么差异的特征函数 $\mu=\xi-\eta$ 有形式 $\psi(t) \psi(-t)=|\psi(t)|^2$ ,即变为实值。在对如此对称化的随机项的总 和执行一系列操作并获得这些总和的一些结果之后,我们可以将这些结果转移到初始(在对称化操作之前考虑)随机变量的总和。
我们注意到另一种可能显着增加具有特征的功能集。
让我们处理一组分布函数 $f_k(x), k=1,2, \ldots$ 很容易验证这些函数与非负权重的任何混合 $p_1, p_2, \ldots$ ,其和为单位,即函数
$$
F(x)=\sum_k p_k F_k(x)
$$
是具有相应特征函数的分布函数 $\psi_k(t), k=1,2, \ldots \mathrm{~ 我 们 对 它 们 得 到 类 似 的 结 果 , 即 任 何 线 性 组 合 ~}$
$$
\psi(t)=\sum_k p_k \psi(t)
$$
与上述非负权重是一个特征函数。这一事实以及显着扩展真实特征函数集的愿望使得描述一组相当丰富的此类函数成为可能。这就是所谓的 Polya 标准。以下结 果成立。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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