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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Consequences of the Least Upper Bound Property

In this section, we look at a number of elementary properties of the real numbers which in more elementary courses are usually always taken for granted. As we will see however, these are all actually consequences of the least upper bound property of the real numbers.

THEOREM 1.5.1 (Archimedian Property) If $x, y \in \mathbb{R}$ and $x>0$, then there exists a positive integer $n$ such that
$$n x>y .$$
Proof. If $y \leq 0$, then the result is true for all $n$. Thus assume that $y>0$. We will again use the method of proof by contradiction. Let
$$A-{n x: n \in \mathbb{N}} .$$
If the result is false, that is, there does not exist an $n \in \mathbb{N}$ such that $n x>y$, then $n x \leq y$ for all $n \in \mathbb{N}$. Thus $y$ is an upper bound for $A$. Thus since $A \neq \emptyset$, $A$ has a least upper bound in $\mathbb{R}$. Let $\alpha=\sup A$. Since $x>0, \alpha-x<\alpha$. Therefore $\alpha-x$ is not an upper bound and thus there exists an element of $A$, say $m x$ such that $$\alpha-xy. Remark. One way in which the previous result is often used is as follows: given \epsilon>0, there exists a positive integer n_{o} such that n_{o} \epsilon>1. As a consequence,$$
\frac{1}{n}<\epsilon
$$for all integers n, n \geq n_{o}. ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Binary and Ternary Expansions In our standard base 10 number system we use the integers {0,1, \ldots, 9} to represent real numbers. Base 10 however is not the only possible base. In base 3 (ternary) we use only the integers {0,1,2}, and in base 2 (binary) we use only {0,1}. In this section, we will show how the least upper bound property may be used to prove the existence of the expansion of a real number x, 0<x \leq 1, for a given base. For purposes of illustration, and for later use, we will use base 2 and 3 , which are commonly referred to as the binary and ternary expansions respectively. In base ten, given the decimal .1021, what we really mean is the real number given by$$
\frac{1}{10}+\frac{0}{10^{2}}+\frac{2}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}} .
$$However, in base 3, the expansion .1021 represents$$
\frac{1}{3}+\frac{0}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}},
$$which is the ternary expansion of 34 / 81. For a given x, 0<x \leq 1, the ternary or base 3 expansion of x is defined inductively as follows: DEFINITION 1.6.1 Let n_{1} \in{0,1,2} be the largest integer such that$$
\frac{n_{1}}{3}<x
$$Having chosen n_{1}, \ldots, n_{k}, let n_{k+1} \in{0,1,2} be the largest integer such that$$
\frac{n_{1}}{3}+\frac{n_{2}}{3^{2}}+\cdots+\frac{n_{k}}{3^{k}}+\frac{n_{k+1}}{3^{k+1}}<x .
$$# 实分析代写 ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Consequences of the Least Upper Bound Property 在本节中，我们将研究实数的一些基本性质，这些性质在更基础的课程中通常被认为是理所当然的。然而，正如我们将看到的，这些实际上都是实数的最小上界性质 的结果。 定理 1.5 .1 (阿基米德性质) 如果 x, y \in \mathbb{R} 和 x>0 ，则存在一个正整数 n 这样$$
n x>y .
$$证明。如果 y \leq 0, 那么结果对所有人都是正确的 n. 因此假设 y>0. 我们将再次使用反证法。让$$
A-n x: n \in \mathbb{N} .
$$如果结果为假，即不存在 n \in \mathbb{N} 这样 n x>y ，然后 n x \leq y 对所有人 n \in \mathbb{N}. 因此 y 是一个上限 A. 因此自从 A \neq \emptyset ， A 在 \mathbb{R}. 让 \alpha=\sup A. 自从 x>0, \alpha-x<\alpha. 所以 \alpha-x 不是上限，因此存在一个元素 A ，说 m x 这样 \\\alpha-xy\。 评论。经常使用先前结果的一种方式如下：给定 \epsilon>0 ，存在一个正整数 n_{0} 这样 n_{o} \epsilon>1. 作为结果，$$
\frac{1}{n}<\epsilon
$$对于所有整数 n, n \geq n_{0}. ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Binary and Ternary Expansions 在我们的标准以 10 为底的数字系统中，我们使用整数 0,1, \ldots, 9 来表示实数。然而，基数 10 并不是唯一可能的基数。在基数 3 (三进制) 中，我们只使用整数 0,1,2 ，并且在base 2 (二进制) 中，我们只使用 0,1 . 在本节中，我们将展示如何使用最小上界性质来证明实数展开式的存在 x, 0<x \leq 1 ，对于给定的基数。出于说 明和以后使用的目的，我们将使用基数 2 和 3 ，它们通常分别称为二元和三元扩展。 在十进制中，给定十进制数 .1021，我们真正的意思是由下式给出的实数$$
\frac{1}{10}+\frac{0}{10^{2}}+\frac{2}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}} .
$$但是，以 3 为底，展开式. 1021 表示$$
\frac{1}{3}+\frac{0}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{1}{3^{4}}
$$这是三元展开 34 / 81. 对于给定的 x, 0<x \leq 1 三 三元或基数 3 展开 x 归纳定义如下: 定义 1.6 .1 让 n_{1} \in 0,1,2 是最大的整数，使得$$
\frac{n_{1}}{3}<x
$$选择了 n_{1}, \ldots, n_{k} ，让 n_{k+1} \in 0,1,2 是最大的整数，使得$$
\frac{n_{1}}{3}+\frac{n_{2}}{3^{2}}+\cdots+\frac{n_{k}}{3^{k}}+\frac{n_{k+1}}{3^{k+1}}<x


## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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