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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支，黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形，即在每一点的切线空间上有一个内积，从一点到另一点平滑变化。
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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Gauss Map
We end this section with a geometric characterization of the Gaussian curvature of a manifold $M$, using the Gauss map. The Gauss map is a map from the surface $M$ to the unit sphere $S^{2}$ of $\mathbb{R}^{3}$.
Definition 1.44 Let $M$ be an oriented surface. We define the Gauss map associated with $M$ as
$$
\mathcal{N}: M \rightarrow S^{2}, \quad q \mapsto v_{q},
$$
where $v_{q} \in S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ denotes the external unit normal vector to $M$ at $q$.
Let us consider the differential of the Gauss map at the point $q$,
$$
D_{q} \mathcal{N}: T_{q} M \rightarrow T_{\mathcal{N}(q)} S^{2} .
$$
Notice that a tangent vector to the sphere $S^{2}$ at $\mathcal{N}(q)$ is by construction orthogonal to $\mathcal{N}(q)$. Hence it is possible to identify $T_{\mathcal{N}(q)} S^{2}$ with $T_{q} M$ and to think of the differential of the Gauss map $D_{q} \mathcal{N}$ as an endomorphism of $T_{q} M$
Theorem 1.45 Let $M$ be a surface of $\mathbb{R}^{3}$ with Gauss map $\mathcal{N}$ and Gaussian curvature $\kappa$. Then
$$
\kappa(q)=\operatorname{det}\left(D_{q} \mathcal{N}\right),
$$
where $D_{q} \mathcal{N}$ is interpreted as an endomorphism of $T_{q} M$.
We start by proving an important property of the Gauss map.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Surfaces in R3 with the Minkowski Inner Product
The theory and the results obtained in this chapter can be adapted to the case when $M \subset \mathbb{R}^{3}$ is a surface in Minkowski 3-space, i.e., $\mathbb{R}^{3}$ endowed with the hyperbolic (or pseudo-Euclidean) inner product
$$
\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle_{h}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-z_{1} z_{2}
$$
Here $q_{i}=\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ for $i=1,2$ are two points in $\mathbb{R}^{3}$. When $\langle q, q\rangle_{h} \geq 0$, we denote by $|q|_{h}=\langle q, q\rangle_{h}^{1 / 2}$ the length of the vector induced by the inner product (1.65).
For the metric structure to be well defined on $M$, we require that the restriction of the inner product (1.65) to the tangent space to $M$ is positive definite at every point. Indeed, under this assumption, the inner product (1.65) can be used to define the length of a tangent vector to the surface (which is nonnegative). Thus one can introduce the length of a (piecewise) smooth curve on $M$ and its distance by the same formulas as in Section 1.1. These surfaces are also called space-like surfaces in Minkowski space.
The structure of the inner product imposes some conditions on the structure of space-like surfaces, as the following exercise shows.
Exercise 1.50 Let $M$ be a space-like surface in $\mathbb{R}^{3}$ endowed with the inner product (1.65).
(i) Show that if $v \in T_{q} M$ is a nonzero vector that is orthogonal to $T_{q} M$ then $\langle v, v\rangle_{h}<0$.
(ii) Prove that if $M$ is compact then $\partial M \neq \emptyset$.
(iii) Show that the restriction to $M$ of the projection $\pi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ defined by $\pi(x, y, z)=(x, y)$ is a local diffeomorphism.
(iv) Show that $M$ is locally a graph, i.e., for every point in $M$ there exists $U \subset \mathbb{R}^{3}$ such that $M \cap U={(x, y, z) \mid z=f(x, y)}$, for a suitable smooth function $f$.
黎曼几何代考
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Gauss Map
我们以流形的高斯曲率的几何表征结束本节 $M$ ，使用高斯图。高斯图是来自表面的地图 $M$ 到单位球体 $S^{2}$ 的 $\mathbb{R}^{3}$.
定义 $1.44$ 让 $M$ 是一个有向曲面。我们定义与关联的高斯图 $M$ 作为
$$
\mathcal{N}: M \rightarrow S^{2}, \quad q \mapsto v_{q}
$$
在哪里 $v_{q} \in S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ 表示外部单位法向量 $M$ 在 $q$.
让我们考虑高斯图在该点的微分 $q$
$$
D_{q} \mathcal{N}: T_{q} M \rightarrow T_{\mathcal{N}(q)} S^{2}
$$
请注意，球体的切向量 $S^{2}$ 在 $\mathcal{N}(q)$ 是通过构造正交于 $\mathcal{N}(q)$. 因此可以识别 $T_{\mathcal{N}(q)} S^{2}$ 和 $T_{q} M$ 并考虑高斯图的微分 $D_{q} \mathcal{N}$ 作为一个内同态 $T_{q} M$ 定理 $1.45$ 让 $M$ 成为一个表面 $\mathbb{R}^{3}$ 带高斯图 $\mathcal{N}$ 和高斯曲率 $\kappa$. 然后
$$
\kappa(q)=\operatorname{det}\left(D_{q} \mathcal{N}\right),
$$
在哪里 $D_{q} \mathcal{N}$ 被解释为内同态 $T_{q} M$. 涐们首先证明高斯图的一个重要性质。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Surfaces in R3 with the Minkowski Inner Product
本章中获得的理论和结果可以适用于以下情况 $M \subset \mathbb{R}^{3}$ 是 Minkowski 3 空间中的一个曲面，即， $\mathbb{R}^{3}$ 具有双曲 (或伪欧几里得) 内积
$$
\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle_{h}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-z_{1} z_{2}
$$
这里 $q_{i}=\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ 为了 $i=1,2$ 是两个点 $\mathbb{R}^{3}$. 什么时候 $\langle q, q\rangle_{h} \geq 0$ ，我们表示为 $|q|{h}=\langle q, q\rangle{h}^{1 / 2}$ 由内积 (1.65) 诱导的向量的长度。
为了使度量结构在 $M$ ，我们要求内积 (1.65) 对切线空间的限制为 $M$ 在每一点上都是正定的。实际上，在这个假设下，内积 (1.65) 可用于定义曲面的切向量的长度 (非 负)。因此，可以在上引一一条 (分段) 平滑曲线的长度 $M$ 和它的距离，用与 $1.1$ 节相同的公式。这些曲面在 Minkowski 空间中也称为类空间曲面。
内积的结构对类空间曲面的结构施加了一些条件，如以下练习所示。
练习 $1.50$ 让 $M$ 是一个类似空间的表面 $\mathbb{R}^{3}$ 具有内积 (1.65) 。
(i) 证明如果 $v \in T_{q} M$ 是一个非零向量，与 $T_{q} M$ 然后 $\langle v, v\rangle_{h}<0$.
(ii) 证明如果 $M$ 那么䋈凑 $\partial M \neq \emptyset$.
(iii) 表明限制 $M$ 投影的 $\pi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ 被定义为 $\pi(x, y, z)=(x, y)$ 是同部铂分同脴。
(iv) 证明 $M$ 是同部的图，即，对于 $M$ 那里存在 $U \subset \mathbb{R}^{3}$ 这样 $M \cap U=(x, y, z) \mid z=f(x, y)$, 对于一个合适的平滑函数 $f$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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