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## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Model Spaces of Constant Curvature

In this section we briefly discuss surfaces embedded in $\mathbb{R}^{3}$ (with Euclidean or Minkowski inner product) that have constant Gaussian curvature and play the role of model spaces. For each model space we are interested in describing the geodesics and, more generally, the curves of constant geodesic curvature. These results will be useful in the study of sub-Riemannian model spaces in dimension 3 (see Chapter 7).

Assume that the surface $M$ has constant Gaussian curvature $\kappa \in \mathbb{R}$. We already know that $\kappa$ is a metric invariant of the surface, i.e., it does not depend on the embedding of the surface in $\mathbb{R}^{3}$. We will distinguish the following three cases:
(i) $\kappa=0$ : this is the flat model, corresponding to the Euclidean plane,
(ii) $\kappa>0$ : this corresponds to the sphere,
(iii) $\kappa<0$ : this corresponds to the hyperbolic plane.
We will briefly discuss case (i), since it is trivial, and study in more detail cases (ii) and (iii), of spherical and hyperbolic geometry respectively.

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Positive Curvature: The Sphere

Let us consider the sphere $S_{r}^{2}$ of radius $r$ as the surface of $\mathbb{R}^{3}$ defined as the zero level set of the function
$$S_{r}^{2}=a^{-1}(0), \quad a(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2} .$$
If we denote, as usual, by $\langle\cdot \mid \cdot\rangle$ the Euclidean inner product in $\mathbb{R}^{3}, S_{r}^{2}$ can be viewed also as the set of points $q=(x, y, z)$ whose Euclidean norm is constant:
$$S_{r}^{2}=\left{q \in \mathbb{R}^{3} \mid\langle q \mid q\rangle=r^{2}\right} .$$
The Gauss map associated with this surface can be easily computed, and it is explicitly given by
$$\mathcal{N}: S_{r}^{2} \rightarrow S^{2}, \quad \mathcal{N}(q)=\frac{1}{r} q .$$
It follows immediately from (1.75) that the Gaussian curvature of the sphere is $\kappa=1 / r^{2}$ at every point $q \in S_{r}^{2}$. Let us now recover the structure of geodesics and curves with constant geodesic curvature on the sphere.

Proposition 1.60 Let $\gamma:[0, T] \rightarrow S_{r}^{2}$ be a curve with unit speed and constant geodesic curvature equal to $c \in \mathbb{R}$. Then, for every $w \in \mathbb{R}^{3}$, the function $\alpha(t)=\langle\dot{\gamma}(t) \mid w\rangle$ is a solution of the differential equation
$$\ddot{\alpha}(t)+\left(c^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right) \alpha(t)=0 .$$
Proof Differentiating twice the equality $a(\gamma(t))=0$, where $a$ is the function defined in (1.74), we get (in matrix notation):
$$\dot{\gamma}(t)^{T}\left(\nabla_{\gamma(t)}^{2} a\right) \dot{\gamma}(t)+\ddot{\gamma}(t)^{T} \nabla_{\gamma(t)} a=0 .$$

# 黎曼几何代考

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Model Spaces of Constant Curvature

(i) $\kappa=0$ : 这是平面模型，对应于欧几里得平面，
(ii) $\kappa>0$ : 这对应于球体，
(iii) $\kappa<0$ : 这对应于双曲平面。

## 数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Positive Curvature: The Sphere

$$S_{r}^{2}=a^{-1}(0), \quad a(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2} .$$

$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别

$$\mathcal{N}: S_{r}^{2} \rightarrow S^{2}, \quad \mathcal{N}(q)=\frac{1}{r} q .$$

$$\ddot{\alpha}(t)+\left(c^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right) \alpha(t)=0 .$$

$$\dot{\gamma}(t)^{T}\left(\nabla_{\gamma(t)}^{2} a\right) \dot{\gamma}(t)+\ddot{\gamma}(t)^{T} \nabla_{\gamma(t)} a=0 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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