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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Concluding remarks

In this paper we focused on the Hilbert space case, i.e., the case where the kernels $K_{\Theta}$ and $K_{\Theta_{P}}$ aré pósitivè définité. Récall that thé indéfinitè analoguee of Pick functions – the class $\mathcal{P}{\kappa}(\mathcal{G})$ of meromorphic $\mathcal{L}(\mathcal{G})$-valued functions such that the kernel $\mathfrak{K}(z, \omega)$ in (1.25) has $\kappa$ negative squares on $\mathbb{C}^{+}$- was introduced by Kre.̃n and Langer in [32]. They also introduced the class $\mathcal{S}{\kappa}^{0}(\mathcal{G})$ of functions $S \in \mathcal{P}{\kappa}$ such that $z S(z)$ is a Pick function (that is, the kernel $\widetilde{\mathfrak{n}}(z, \omega)$ in (1.25) is positive on $\mathbb{C}{+} .$The further generalization suggested by Derkach in [20] is the class $\mathcal{S}_{\kappa}^{k}(\mathcal{G})$ of meromorphic functions $S \in \mathcal{P}{\kappa}$ such that $z S \in \mathcal{P}{k}$, that is, such that the kernels $\mathfrak{K}(z, \omega)$ and $\widetilde{\mathfrak{K}}(z, \omega)$ in (1.25) have respectively, $\kappa$ and $k$ negative squares on $\mathbb{C}^{+}$.
Via the Potapov-Ginzburg transform, the class $\mathcal{S}{\kappa}^{k}(\widetilde{\mathcal{G}})$ is translated to the multiplicative generalized Stieltjes class $\mathcal{M S}{k}^{k}(\mathcal{G})$ with two associated reproducing kernel Pontryagin spaces with reproducing kernels (1.4) and (1.30). One can consider the indefinite analogue of Problem $1.10$ concerning two given reproducing kernel Pontryagin (rather than Hilbert) spaces. Our main results – Theorem $3.1$ and Theorem $1.4$ extends literally to this setting, with an additional observation that the observability gramians $\mathcal{G}{\Pi, A, \mu}$ and $\widetilde{\mathcal{G}}{\tilde{\Pi}, A, \mu}$ have respectively $\kappa$ and $k$ negative eigenvalues. The latter characterization might be useful for general interpolation theory in the class $\mathcal{S}_{k}^{k}(\mathcal{G})$ (although some work has been done in this direction (see, e.g., $[3,7]$ ), the area is still largely open.

We also note that there are several Stieltjes-type classes defined via two positive kernels: for example (see [33]), the class $\mathcal{R}a, b$ of Pick functions $S$ such that $(z-a) S(z)$ and $(b-z) S(z)$ are also Pick functions, or the class $\mathcal{S}[a, b]$ of Pick functions $S$ such that $\frac{z-a}{b-z} S(z)$ is also in the Pick class. The multiplicative counterparts for both of these classes are defined via the Potapov-Ginzburg transform and our Theorems $3.1$ and $1.4$ are easily translated to those settings. However, the unit disk counterpart of our results is not immediately clear. Keeping in mind the disk-setting identity (1.8) characterizing reproducing kernel Hilbert spaces with kernel of the form $\frac{J-\Theta(z) J \Theta(\omega)^{*}}{1-z \bar{\omega}}$, it would be of interest to obtain disk-analogues of the other results presented here for the half-plane setting. A suitable additive class parallel to the Stieltjes class for the disk setting is the class of functions $f$ analytic in $\mathbb{D}$ and such that both
$$
f(z) \text { and } \frac{z-e^{i \tau}}{1-z e^{i \tau}} f(z), \quad(\tau \in[0,2 \pi))
$$
are in the Carathéodory class (have positive semidefinite real part in $\mathbb{D}$ (Section 5 in Appendix [33]). Equivalently, $f$ is a Carathéodory class function analytic on the $\operatorname{arc}\left(e^{-i \tau}, e^{i \tau}\right)$ and with
$$
\Im\left(f\left(e^{i \theta}\right)\right)=-i f\left(e^{i \theta}\right) \succeq 0, \quad|\theta|<\tau .
$$
These functions play the same role in trigonometric moment problem over the arc $\left(e^{-i \tau}, e^{i \tau}\right)$ as Stieltjes functions do for the Stieltjes moment problem. Such a problem was studied in $[35,36]$ and later in $[6,19]$.

电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Quasi boundary triples and self-adjoint extensions

In this section we first recall the notion of quasi boundary triples and their Weyl functions in the extension theory of symmetric operators from $[3,4]$. Afterwards we provide a new sufficient criterion for self-adjointness in Theorem 2.2, which is the main abstract result in this note.

In the following let $\mathcal{H}$ be a Hilbert space with inner product $(\cdot, \cdot)_{\mathcal{H}}$. The next definition is a generalization of the concept of ordinary and generalized boundary triples; cf. $[11,13,14,15,19]$.

Definition 2.1. Let $S$ be a densely defined closed symmetric operator in $\mathcal{H}$ and let $T$ be a closable operator such that $\bar{T}=S^{}$. A triple $\left{\mathcal{G}, \Gamma_{0}, \Gamma_{1}\right}$ is a quasi boundary triple for $T \subset S^{}$ if $\left(\mathcal{G},(\cdot, \cdot){\mathcal{G}}\right)$ is a Hilbert space and the linear mappings $\Gamma{0}, \Gamma_{1}: \operatorname{dom} T \rightarrow \mathcal{G}$ satisfy the following conditions (i)-(iii).
(i) The abstract second Green identity
$$
(T f, g){\mathcal{H}}-(f, T g){\mathcal{H}}=\left(\Gamma_{1} f, \Gamma_{0} g\right){\mathcal{G}}-\left(\Gamma{0} f, \Gamma_{1} g\right){\mathcal{G}} $$ holds for all $f, g \in \operatorname{dom} T$. (ii) The range of $\left(\Gamma{0}, \Gamma_{1}\right)^{\top}: \operatorname{dom} T \rightarrow \mathcal{G} \times \mathcal{G}$ is dense.
(iii) The operator $A_{0}:=T\left\lceil\operatorname{ker} \Gamma_{0}\right.$ is self-adjoint in $\mathcal{H}$.
Recall from [3, 4] that for a densely defined closed symmetric operator $S$ in $\mathcal{H}$ a quasi boundary triple $\left{\mathcal{G}, \Gamma_{0}, \Gamma_{1}\right}$ exists if and only if the deficiency indices of $S$ coincide. In this case one has dom $S=\operatorname{ker} \Gamma_{0} / 1 \operatorname{ker} \Gamma_{1}$. The notion of quasi boundary triples reduces to the well-known concept of ordinary boundary triples if $T=S^{*}$. For more details we refer the reader to $[3,4]$.

Assume now that $\left{\mathcal{G}, \Gamma_{0}, \Gamma_{1}\right}$ is a quasi boundary triple for $T \subset S^{*}$. In a similar way as for ordinary and generalized boundary triples in $[14,15]$ one associates the $\gamma$-field and the Weyl function. Their definition and some of their properties will now be recalled very briefly. Again we refer the reader to $[3,4]$ for a more detailed exposition. Observe first that the direct sum decomposition
$$
\operatorname{dom} T=\operatorname{dom} A_{0} \dot{+} \operatorname{ker}(T-\lambda)=\operatorname{ker} \Gamma_{0} \dot{+} \operatorname{ker}(T-\lambda), \quad \lambda \in \rho\left(A_{0}\right), \quad \text { (2.2) }
$$
implies that $\Gamma_{0} \mid \operatorname{ker}(T-\lambda)$ is invertible for $\lambda \in \rho\left(A_{0}\right)$. The $\gamma$-field $\gamma$ and the Weyl function $M$ are then defined as operator-valued functions on $\rho\left(A_{0}\right)$ by
$$
\left.\lambda \mapsto \gamma(\lambda):=\left(\Gamma_{0}\right\rceil \operatorname{ker}(T-\lambda)\right)^{-1} \text { and } \lambda \mapsto M(\lambda):=\Gamma_{1} \gamma(\lambda),
$$
respectively. It is clear from (2.2) that $\operatorname{dom} \gamma(\lambda)=\operatorname{dom} M(\lambda)=\operatorname{ran} \Gamma_{0}$ independent of $\lambda \in \rho\left(A_{0}\right)$. Moreover, the values $\gamma(\lambda)$ of the $\gamma$-field are densely defined and bounded operators from $\mathcal{G}$ into $\mathcal{H}$ such that $\operatorname{ran} \gamma(\lambda)=\operatorname{ker}(T-\lambda)$.

信号处理与线性系统代考

电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Concluding remarks

在本文中，我们关注希尔伯特空间的情况，即内核的情况 $K_{\Theta}$ 和 $K_{\Theta}$ 是正面定义的。回想一下 Pick 函数的类似不确定性一一类 $\mathcal{P} \kappa(\mathcal{G})$ 亚形的 $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ 值函数，使得内核 $\widehat{K}(z, \omega)$ 在 (1.25) 中有 $\kappa$ 负平方 $\mathbb{C}^{+}$- 由 Kre.n 和 Langer 在 [32] 中介绍。他们还介绍了班级 $\mathcal{S} \kappa^{0}(\mathcal{G})$ 功能 $S \in \mathcal{P} \kappa$ 这样 $z S(z)$ 是一个 Pick 函数（即内核 $\widetilde{n}(z, \omega)$ 在 $(1.25)$ 中为正 $\mathbb{C}+$.Derkach 在 [20] 中提出的进一步概括是类 $\mathcal{S}{\kappa}^{k}(\mathcal{G})$ 亚纯函数 $S \in \mathcal{P} \kappa$ 这样 $z S \in \mathcal{P} k$ ，也就是说，使得内核 $\mathfrak{\Omega}(z, \omega)$ 和 $\widetilde{\kappa}(z, \omega)$ 在 $(1.25)$ 中分别有， $\kappa$ 和 $k$ 负平方 $\mathbb{C}^{+}$ 通过 Potapov-Ginzburg 变换，类 $\mathcal{S} \kappa^{k}(\widetilde{\mathcal{G}})$ 被翻译成乘法广义 Stieltjes 类 $\mathcal{M} \mathcal{S} k^{k}(\mathcal{G})$ 具有两个相关的再生内核 Pontryagin 空间，具有再生内核 (1.4) 和 (1.30)。可以考 虑问题的不定类比 $1.10$ 关于两个给定的再生核 Pontryagin（而不是 Hilbert) 空间。我们的主要结果一一定理 $3.1$ 和定理 $1.4$ 从字面上延伸到这个设置，另外观察到可 观察性 gramians $\mathcal{G \Pi}, A, \mu$ 和 $\widetilde{\mathcal{G}} \tilde{\Pi}, A, \mu$ 分别有 $\kappa$ 和 $k$ 负特征值。后一种表征可能对课堂上的一般揷值理论有用 $\mathcal{S}{k}^{k}(\mathcal{G})($ 尽管在这个方向上已经做了一些工作（参见，例 如， [3,7])，该地区仍然大部分开放。
我们还注意到，通过两个正内核定义了几个 Stieltjes 类型的类：例如（参见 [33])，类 \$\mathcal{R} a, bofPickfunctions 小号suchthat(za) S(z)and(bz) S(z)

电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Quasi boundary triples and self-adjoint extensions

在本节中，我们首先回顾一下对称算子的可拓论中的准边界三元组及其 Weyl 函数的概念。 $[3,4]$. 之后，我们在定理 $2.2$ 中为自伴随性提供了一个新的充分标准，这 是本文的主要抽象结果。
在下面让 $\mathcal{H}$ 是具有内积的希尔伯特空间 $(\cdot, \cdot)){\mathcal{H}}$. 下一个定义是对普通边界三元组和广义边界三元组概念的推广；参看。 $[11,13,14,15,19]$. 定义 2.1。让 $S$ 是一个密集定义的封闭对称算子 $\mathcal{H}$ 然后让 $T$ 是一个可关闭的操作符，使得 $\bar{T}=S$. 三重奏 $\backslash 1$ eft 的分隔符缺失或无法识别 界三元组 $T \subset S$ 如果 $(\mathcal{G},(\cdot, \cdot) \mathcal{G})$ 是希尔伯特空间和线性映射 $\Gamma 0, \Gamma{1}: \operatorname{dom} T \rightarrow \mathcal{G}$ 满足以下条件 (i)-(iii)。
(i) 抽象的第二个绿色身份
$$
(T f, g) \mathcal{H}-(f, T g) \mathcal{H}=\left(\Gamma_{1} f, \Gamma_{0} g\right) \mathcal{G}-\left(\Gamma 0 f, \Gamma_{1} g\right) \mathcal{G}
$$
适用于所有人 $f, g \in \operatorname{dom} T$. (ii) 范围 $\left(\Gamma 0, \Gamma_{1}\right)^{\top}: \operatorname{dom} T \rightarrow \mathcal{G} \times \mathcal{G}$ 是稠密的。
(iii) 经营者 $A_{0}:=T\left\lceil\operatorname{ker} \Gamma_{0}\right.$ 是自伴随的 $\mathcal{H}$.
回想一下 $[3,4]$ ，对于一个密集定义的封闭对称算子 $S$ 在H准边界三元组 \1eft 的分隔符缺失或无法识别 当且仅当 $S$ 重合。在这种情况下，一个有 $\operatorname{dom} S=\operatorname{ker} \Gamma_{0} / 1 \operatorname{ker} \Gamma_{1}$. 准边界三元组的概念简化为众所周知的普通边界三元组概念，如果 $T=S^{}$. 有关更多详细信息，我们请读者参考 $[3,4]$. 现在假设〉1eft 的分隔符缺失或无法识别 是一个准边界三元组 $T \subset S^{}$. 以与普通和广义边界三元组类似的方式 $[14,15]$ 个联想 $\gamma$-field 和 Weyl 函 数。现在将非常简要地回顾它们的定义和它们的一些属性。我们再次向读者推荐 $[3,4]$ 以获得更详细的说明。首先观察直接和分解
$$
\operatorname{dom} T=\operatorname{dom} A_{0} \dot{+} \operatorname{ker}(T-\lambda)=\operatorname{ker} \Gamma_{0} \dot{+} \operatorname{ker}(T-\lambda), \quad \lambda \in \rho\left(A_{0}\right), \quad(2.2)
$$
暗示 $\Gamma_{0} \mid \operatorname{ker}(T-\lambda)$ 是可逆的 $\lambda \in \rho\left(A_{0}\right)$. 这 $\gamma$-场地 $\gamma$ 和外尔函数 $M$ 然后被定义为运算符值函数 $\rho\left(A_{0}\right)$ 经过
$$
\left.\lambda \mapsto \gamma(\lambda):=\left(\Gamma_{0}\right\rceil \operatorname{ker}(T-\lambda)\right)^{-1} \text { and } \lambda \mapsto M(\lambda):=\Gamma_{1} \gamma(\lambda),
$$
分别。从 (2.2) 可以清楚地看出 $\operatorname{dom} \gamma(\lambda)=\operatorname{dom} M(\lambda)=\operatorname{ran} \Gamma_{0}$ 独立于 $\lambda \in \rho\left(A_{0}\right)$. 此外，价值观 $\gamma(\lambda)$ 的 $\gamma$-field 是密集定义和有界的运算符 $\mathcal{G}$ 进入 $\mathcal{H}$ 这样 $\operatorname{ran} \gamma(\lambda)=\operatorname{ker}(T-\lambda)$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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