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数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|MATH565

数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|Classification of States

Let $X$ be a Markov chain with discrete state space $\mathscr{E}$ and transition matrix $P$. We can characterize the relations between states in the following way: If states $i$ and $j$ are such that $P^t(i, j)>0$ for some $t \geqslant 0$, we say that $i$ leads to $j$ and write $i \rightarrow j$. We say that $i$ and $j$ communicate if $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, and write $i \leftrightarrow j$. Using the relation ” $\leftrightarrow$ “, we can divide $\mathscr{E}$ into equivalence classes such that all the states in an equivalence class communicate with each other but not with any state outside that class. If there is only one equivalent class $(=\mathscr{E})$, the Markov chain is said to be irreducible. If a set of states $\mathscr{A}$ is such that $\sum_{j \in \mathscr{A}} P(i, j)=1$ for all $i \in \mathscr{A}$, then $\mathscr{A}$ is called a closed set. A state $i$ is called an absorbing state if ${i}$ is closed. For example, in the transition graph depicted in Figure 1.5, the equivalence classes are ${1,2},{3}$, and ${4,5}$. Class ${1,2}$ is the only closed set: the Markov chain cannot escape from it. If state 1 were missing, state 2 would be absorbing. In Example $1.10$ the Markov chain is irreducible since all states communicate.

Another classification of states is obtained by observing the system from a local point of view. In particular, let $T$ denote the time the chain first visits state $j$, or first returns to $j$ if it started there, and let $N_j$ denote the total number of visits to $j$ from time 0 on. We write $\mathbb{P}_j(A)$ for $\mathbb{P}\left(A \mid X_0=j\right)$ for any event $A$. We denote the corresponding expectation operator by $\mathbb{E}_j$. State $j$ is called a recurrent state if $\mathbb{P}_j(T<\infty)=1$; otherwise, $j$ is called transient. A recurrent state is called positive recurrent if $\mathbb{E}_j[T]<\infty$; otherwise, it is called null recurrent. Finally, a state is said to be periodic, with period $\delta$, if $\delta \geqslant 2$ is the largest integer for which $\mathbb{P}_j(T=n \delta$ for some $n \geqslant 1)=1$; otherwise, it is called aperiodic. For example, in Figure $1.5$ states 1 and 2 are recurrent, and the other states are transient. All these states are aperiodic. The states of the random walk of Example $1.10$ are periodic with period 2.

It can be shown that recurrence and transience are class properties. In particular, if $i \leftrightarrow j$, then $i$ recurrent (transient) $\Leftrightarrow j$ recurrent (transient). Thus, in an irreducible Markov chain, one state being recurrent implies that all other states are also recurrent. And if one state is transient, then so are all the others.

数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|Limiting Behavior

The limiting or “steady-state” behavior of Markov chains as $t \rightarrow \infty$ is of considerable interest and importance, and this type of behavior is often simpler to describe and analyze than the “transient” behavior of the chain for fixed $t$. It can be shown (see, for example, [3]) that in an irreducible, aperiodic Markov chain with transition matrix $P$ the $t$-step probabilities converge to a constant that does not depend on the initial state. More specifically,
$$
\lim _{t \rightarrow \infty} P^t(i, j)=\pi_j
$$
for some number $0 \leqslant \pi_j \leqslant 1$. Moreover, $\pi_j>0$ if $j$ is positive recurrent and $\pi_j=0$ otherwise. The intuitive reason behind this result is that the process “forgets” where it was initially if it goes on long enough. This is true for both finite and countably infinite Markov chains. The numbers $\left{\pi_j, j \in \mathscr{E}\right}$ form the limiting distribution of the Markov chain, provided that $\pi_j \geqslant 0$ and $\sum_j \pi_j=1$. Note that these conditions are not always satisfied: they are clearly not satisfied if the Markov chain is transient, and they may not be satisfied if the Markov chain is recurrent (i.e., when the states are null-recurrent). The following theorem gives a method for obtaining limiting distributions. Here we assume for simplicity that $\mathscr{E}={0,1,2, \ldots}$. The limiting distribution is identified with the row vector $\pi=$ $\left(\pi_0, \pi_1, \ldots\right)$

Theorem 1.13.2 For an irreducible, aperiodic Markov chain with transition matrix $P$, if the limiting distribution $\pi$ exists, then it is uniquely determined by the solution of
$$
\pi=\pi P,
$$
with $\pi_j \geqslant 0$ and $\sum_j \pi_j=1$. Conversely, if there exists a positive row vector $\pi$ satisfying (1.35) and summing up to 1 , then $\pi$ is the limiting distribution of the Markov chain. Moreover, in that case, $\pi_j>0$ for all $j$ and all states are positive recurrent.

Proof: (Sketch) For the case where $\mathscr{E}$ is finite, the result is simply a consequence of (1.33). Namely, with $\pi^{(0)}$ being the $i$-th unit vector, we have
$$
P^{t+1}(i, j)=\left(\pi^{(0)} P^t P\right)(j)=\sum_{k \in \mathcal{E}} P^t(i, k) P(k, j) .
$$
Letting $t \rightarrow \infty$, we obtain (1.35) from (1.34), provided that we can change the order of the limit and the summation. To show uniqueness, suppose that another vector $\mathbf{y}$, with $y_j \geqslant 0$ and $\sum_j y_j=1$, satisfies $\mathbf{y}=\mathbf{y} P$. Then it is easy to show by induction that $\mathbf{y}=\mathbf{y} P^t$, for every $t$. Hence, letting $t \rightarrow \infty$, we obtain for every $j$
$$
y_j=\sum_i y_i \pi_j=\pi_j,
$$
since the $\left{y_j\right}$ sum up to unity. We omit the proof of the converse statement.

数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte carlo method代考|MATH565

模拟和蒙特卡洛方法代写

数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte-carlo method代考| state Classification

设$X$是一个具有离散状态空间$\mathscr{E}$和转换矩阵$P$的马尔可夫链。我们可以这样描述状态之间的关系:如果状态$i$和$j$对于某些$t \geqslant 0$来说是$P^t(i, j)>0$,我们说$i$通向$j$并写$i \rightarrow j$。我们说$i$和$j$通信如果$i \rightarrow j$和$j \rightarrow i$,并写$i \leftrightarrow j$。使用关系“$\leftrightarrow$”,我们可以将$\mathscr{E}$划分为等价类,以便等价类中的所有状态彼此通信,但不与该类之外的任何状态通信。如果只有一个等价类$(=\mathscr{E})$,则称马尔可夫链不可约。如果状态集$\mathscr{A}$是这样的,$\sum_{j \in \mathscr{A}} P(i, j)=1$对于所有$i \in \mathscr{A}$,那么$\mathscr{A}$被称为封闭集。如果${i}$关闭,则状态$i$称为吸收状态。例如,在图1.5所示的转换图中,等价类是${1,2},{3}$和${4,5}$。类${1,2}$是唯一的封闭集:马尔可夫链无法逃离它。如果没有状态1,状态2就会被吸收。在例子$1.10$中,马尔可夫链是不可约的,因为所有状态都通信 状态的另一种分类是通过从局部角度观察系统得到的。特别地,让 $T$ 表示链第一次访问状态的时间 $j$,或先返回 $j$ 如果它从那里开始,让 $N_j$ 表示访问的总次数 $j$ 从时间0开始。我们写 $\mathbb{P}_j(A)$ 为 $\mathbb{P}\left(A \mid X_0=j\right)$ 对于任何事件 $A$。我们将相应的期望算符表示为 $\mathbb{E}_j$。州 $j$ 称为循环状态,如果 $\mathbb{P}_j(T<\infty)=1$;否则, $j$ 叫做瞬变。循环状态称为正循环if $\mathbb{E}_j[T]<\infty$;否则,它被称为空循环。最后,一个状态被称为周期性的,具有周期 $\delta$,如果 $\delta \geqslant 2$ 是哪个的最大整数 $\mathbb{P}_j(T=n \delta$ 对一些人来说 $n \geqslant 1)=1$;否则,称为非周期的。例如,在图中 $1.5$ 状态1和2是循环的,其他状态是瞬态的。所有这些状态都是非周期的。样本随机游走的状态 $1.10$


可以看出递归和瞬态是类属性。特别是,如果$i \leftrightarrow j$,那么$i$经常性(瞬态)$\Leftrightarrow j$经常性(瞬态)。因此,在不可约马尔可夫链中,一个状态是循环的意味着所有其他状态也是循环的。如果一个状态是暂时的,那么其他状态也是

数学代写|模拟和蒙特卡洛方法作业代写simulation and monte-carlo-method代考| limit – Behavior


像$t \rightarrow \infty$这样的马尔可夫链的极限或“稳态”行为是相当有趣和重要的,这种类型的行为通常比固定$t$的链的“瞬态”行为更容易描述和分析。可以证明(例如,见[3]),在一个具有跃迁矩阵$P$的不可约非周期马尔可夫链中,$t$ -阶概率收敛于一个不依赖于初始状态的常数。更具体地说,对于某个数字$0 \leqslant \pi_j \leqslant 1$,
$$
\lim _{t \rightarrow \infty} P^t(i, j)=\pi_j
$$
。此外,如果$j$是正循环则为$\pi_j>0$,否则为$\pi_j=0$。这个结果背后的直观原因是,如果过程持续的时间足够长,它就会“忘记”最初的位置。这对于有限和可数无限的马尔可夫链都是成立的。数字$\left{\pi_j, j \in \mathscr{E}\right}$构成马尔可夫链的极限分布,前提是$\pi_j \geqslant 0$和$\sum_j \pi_j=1$。注意,这些条件并不总是被满足:如果马尔可夫链是瞬态的,它们显然是不被满足的,如果马尔可夫链是周期性的(即,当状态为零周期性时),它们可能是不被满足的。下面的定理给出了求极限分布的一种方法。为了简单起见,我们在这里假设$\mathscr{E}={0,1,2, \ldots}$。极限分布用行向量$\pi=$$\left(\pi_0, \pi_1, \ldots\right)$ 来标识


1.13.2对于具有跃迁矩阵$P$的不可约非周期马尔可夫链,如果极限分布$\pi$存在,则由
$$
\pi=\pi P,
$$
具有$\pi_j \geqslant 0$和$\sum_j \pi_j=1$的解唯一确定。反之,如果存在满足(1.35)且和为1的正行向量$\pi$,则$\pi$为马尔可夫链的极限分布。此外,在这种情况下,$\pi_j>0$对所有$j$和所有状态都是正循环

证明:(Sketch)对于$\mathscr{E}$是有限的情况,结果只是(1.33)的一个结果。即,$\pi^{(0)}$是$i$ -th单位向量,我们有
$$
P^{t+1}(i, j)=\left(\pi^{(0)} P^t P\right)(j)=\sum_{k \in \mathcal{E}} P^t(i, k) P(k, j) .
$$
令$t \rightarrow \infty$,我们从(1.34)得到(1.35),前提是我们可以改变极限和和的顺序。为了显示唯一性,假设另一个向量$\mathbf{y}$,包含$y_j \geqslant 0$和$\sum_j y_j=1$,满足$\mathbf{y}=\mathbf{y} P$。然后很容易用归纳法表明,$\mathbf{y}=\mathbf{y} P^t$对应每一个$t$。因此,让$t \rightarrow \infty$,我们得到每个$j$
$$
y_j=\sum_i y_i \pi_j=\pi_j,
$$
,因为$\left{y_j\right}$的和为单位。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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