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固态物理学是通过量子力学、晶体学、电磁学和冶金学等方法研究刚性物质或固体。它是凝聚态物理学的最大分支。
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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Thermal transport
We finally discuss the thermal conduction in metals. The basic assumption in this case is that most of the heat current is carried by the gas of conduction electrons, consistently with the empirical observation that metals are as good electrical conductors as they are good thermal conductors: it is therefore natural to look at electrons as the primary microscopic carriers for both transport phenomena. More specifically, we understand that electrons are able to transport heat since those coming from the hotter region of the sample carry a larger amount of thermal energy than the electrons moving from the colder region.
The approximation to consider only electrons as heat carriers implies that in the Drude theory we formally assume $\kappa_{\mathrm{tot}}=\kappa_{\mathrm{e}}+\kappa_1 \sim \kappa_{\mathrm{e}}$, where $\kappa_{\mathrm{e}}$ and $\kappa_1$ are the separate contributions due to the electronic and ionic degrees of freedom, respectively. In order to calculate the actual form of $\kappa_e$, we can proceed by analogy ${ }^9$ with the lattice case discussed in section $4.3$ by setting
$$
\kappa_{\mathrm{e}}^{\text {Drude }}=\frac{1}{3} \tau_{\mathrm{e}}\left\langle\left(v_{\mathrm{e}}^{\text {th }}\right)^2\right\rangle c_V^{\mathrm{e}}(T),
$$
where $c_V^e(T)$ is the constant-volume specific heat of the electron gas. It is important to remark that in this equation we used the same symbol $\tau_{\mathrm{e}}$ as before, but with a subtly different meaning: in equation $(7.15)$ it is understood as the relaxation time occurring in the heat current phenomenon, while in equation (7.7) it was associated with the charge current one. This abuse of notation suggests that within the present free electron theory we are assuming the charge current and heat current relaxation times to be just the same: indeed a useful approximation, which however will be revised in section 7.3.4. By describing the conduction gas classically, we calculate ${ }^{10}$ $\left\langle\left(v_{\mathrm{e}}^{\mathrm{th}}\right)^2\right\rangle=3 k_{\mathrm{B}} T / m_{\mathrm{e}}$ and $c_V^e(T)=3 n_{\mathrm{e}} k_{\mathrm{B}} / 2$ and, by means of equation (7.7), we predict the ratio between its thermal and electrical conductivity to be
$$
\frac{\kappa_{\mathrm{e}}^{\text {Drude }}}{\sigma_{\mathrm{e}}}=\frac{3}{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{e}\right)^2 T,
$$
which is in remarkable good agreement with the experimental Wiedemann-Franz law stating that in most metals the ratio between the thermal and electric conductivities of the conduction gas is proportional to $T$ at sufficiently high temperatures (room temperature belongs to this range). To a very good extent, the proportionality constant is found to be about the same for all metals. Equation (7.16) not only accurately predicts the high temperature trend of the $\kappa_{\mathrm{e}} / \sigma_{\mathrm{e}}$ ratio, but it also provides the estimation of the constant
$$
\frac{\kappa_e^{\text {Drude }}}{\sigma_{\mathrm{e}} T}=\frac{3}{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{e}\right)^2=1.11 \cdot 10^{-8} \mathrm{~W} \Omega \mathrm{K}^{-2},
$$
which is known as the Lorenz number. Finally, we remark that this result critically depends on the assumption that the relaxation times limiting charge and heat currents are the same.
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Failures of the Drude theory
From the discussion developed so far, one could draw the conclusion that Drude theory is basically sufficient to explain the main physical features of electron gas in a metal, given its apparent success in all topics where we have applied it. Unfortunately, this is not true.
First of all, we observe that the predicted value for the Lorenz number is (roughly) only half of the measured one $[2,3]$. Second, the ability to explain the phenomenological Wiedemann-Franz law is just casual since it is based on two large numerical errors pointing in opposite directions: (i) the actual specific heat of an electron gas at the typical metallic density is much smaller than predicted classically and (ii) the typical electron velocities are much larger than calculated by equipartition. By chance these two rather inaccurate estimations almost perfectly compensate for each other, thus giving an illusory impression of robustness to the Drude theory. In addition, the Lorenz number is not a constant at low temperatures [7], mainly because it is found that $\kappa_e$ is a function of temperature. As a matter of fact, only a full quantum theory is able to correct such discrepancies so as to match the experimental evidences.
In addition to the above failures, the Drude theory is also unsuccessful in describing the electron gas under the action of both an electric and magnetic field, as found when investigating the Hall effect $[2,3]$. Let us consider the situation shown in figure $7.3$ where a constant and uniform magnetic field $\mathbf{B}=(0,0, B)$ is applied normal to the current density $\mathbf{j}$ generated by a constant and uniform electric field $\mathbf{E}=\left(E_x, E_y, 0\right)$. As before, the equation of motion for the electrons of the conducing gas are Newton-like
$$
-e \mathbf{E}-e \mathbf{v}{\mathbf{d}} \times \mathbf{B}=m_e \dot{\mathbf{v}}{\mathbf{d}}+\frac{m_e}{\tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$ where the left-hand side is now given by the Lorentz force $-e\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}\right)$. If we consider a steady-state regime, we have $\dot{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}=0$ and the equation of motion leads to $v{\mathrm{d}, x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_x-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B \quad v_{\mathrm{d}, y} \quad$ and $\quad v_{\mathrm{d}, y}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_y+\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B v_{\mathrm{d}, x}$,
By imposing the condition that no transverse current flows in the $y$ direction (an open-circuit configuration corresponding to the condition $v_y=0$ ) we get
$$
\frac{E_y}{E_x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B,
$$
which allows us to define the Hall coefficient $R_{\mathrm{H}}$ as
$$
R_{\mathrm{H}}=\frac{E_y}{j_x B}=\frac{E_y}{\sigma_{\mathrm{e}} E_x B}=-\frac{1}{n_{\mathrm{e}} e},
$$
where $j_x$ is the current density along the $x$ direction and equation (7.7) has been used for the conductivity $\sigma_{\mathrm{e}}$. Therefore, Drude theory predicts that the Hall coefficient is independent of the applied magnetic field and, in any case, negative. Unfortunately, both conclusions are wrong!
固体物理代写
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|热输运
我们最后讨论了金属中的热传导。这种情况下的基本假设是，大部分的热电流是由传导电子的气体携带的，这与经验观察一致，即金属既是良好的电导体，也是良好的热导体:因此，很自然地把电子看作这两种传输现象的主要微观载体。更具体地说，我们理解电子能够传输热量，因为来自样品较热区域的电子比来自较冷区域的电子携带更多的热能
只考虑电子作为热载体的近似意味着在德鲁德理论中，我们正式假设$\kappa_{\mathrm{tot}}=\kappa_{\mathrm{e}}+\kappa_1 \sim \kappa_{\mathrm{e}}$，其中$\kappa_{\mathrm{e}}$和$\kappa_1$分别是由于电子和离子自由度的不同贡献。为了计算$\kappa_e$的实际形式，我们可以将${ }^9$与$4.3$节中讨论的点阵情况进行类比，设
$$
\kappa_{\mathrm{e}}^{\text {Drude }}=\frac{1}{3} \tau_{\mathrm{e}}\left\langle\left(v_{\mathrm{e}}^{\text {th }}\right)^2\right\rangle c_V^{\mathrm{e}}(T),
$$
，其中$c_V^e(T)$为电子气的等容比热。值得注意的是，在这个方程中，我们使用了与前面相同的符号$\tau_{\mathrm{e}}$，但有微妙的不同的含义:在等式$(7.15)$中，它被理解为发生在热流现象中的弛豫时间，而在等式(7.7)中，它与电荷电流有关。这种符号的滥用表明，在目前的自由电子理论中，我们假设电荷电流和热电流弛豫时间是相同的:确实是一个有用的近似，但将在第7.3.4节中进行修订。通过对传导气体的经典描述，我们计算出${ }^{10}$$\left\langle\left(v_{\mathrm{e}}^{\mathrm{th}}\right)^2\right\rangle=3 k_{\mathrm{B}} T / m_{\mathrm{e}}$和$c_V^e(T)=3 n_{\mathrm{e}} k_{\mathrm{B}} / 2$，通过式(7.7)我们预测它的热导率和电导率之比为
$$
\frac{\kappa_{\mathrm{e}}^{\text {Drude }}}{\sigma_{\mathrm{e}}}=\frac{3}{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{e}\right)^2 T,
$$
，这与实验维德曼-弗朗茨定律非常一致，该定律指出，在足够高的温度(室温属于这个范围)下，大多数金属中传导气体的热导率和电导率之比与$T$成正比。在很大程度上，比例常数被发现对所有金属都差不多。式(7.16)不仅准确地预测了$\kappa_{\mathrm{e}} / \sigma_{\mathrm{e}}$比值的高温趋势，而且还提供了常数
$$
\frac{\kappa_e^{\text {Drude }}}{\sigma_{\mathrm{e}} T}=\frac{3}{2}\left(\frac{k_{\mathrm{B}}}{e}\right)^2=1.11 \cdot 10^{-8} \mathrm{~W} \Omega \mathrm{K}^{-2},
$$
的估计，即洛伦兹数。最后，我们指出，这个结果在很大程度上依赖于限制电荷和热流的弛豫时间相同的假设
物理代写|固体物理代写固态物理代考| Drude理论的失败
从目前的讨论中，我们可以得出这样的结论:鉴于德鲁德理论在我们应用它的所有主题中都取得了明显的成功，它基本上足以解释金属中电子气体的主要物理特征。不幸的是，这不是真的
首先，我们观察到洛伦兹数的预测值(大致)只有实测值的一半$[2,3]$。其次，解释唯象的魏德曼-弗朗茨定律的能力只是偶然的，因为它是基于两个指向相反方向的巨大数值误差:(i)在典型金属密度下电子气体的实际比热比经典预测的要小得多;(ii)典型电子速度比平均分配计算的要大得多。巧合的是，这两个相当不准确的估计几乎完美地互相补偿，从而给德鲁德理论带来了一种鲁棒性的错觉。此外，洛伦兹数在低温[7]下不是常数，主要是因为发现$\kappa_e$是温度的函数。事实上，只有完整的量子理论才能纠正这种差异，从而与实验证据相匹配
除了上述失败之外，德鲁德理论在描述电场和磁场作用下的电子气体时也不成功，正如在研究霍尔效应$[2,3]$时发现的那样。让我们考虑图$7.3$所示的情况，其中恒定均匀的磁场$\mathbf{B}=(0,0, B)$作用于恒定均匀电场$\mathbf{E}=\left(E_x, E_y, 0\right)$产生的电流密度$\mathbf{j}$。和以前一样，传导气体的电子的运动方程是牛顿式的
$$
-e \mathbf{E}-e \mathbf{v}{\mathbf{d}} \times \mathbf{B}=m_e \dot{\mathbf{v}}{\mathbf{d}}+\frac{m_e}{\tau_{\mathrm{e}}} \mathbf{v}{\mathrm{d}}, $$左边现在由洛伦兹力$-e\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}{\mathrm{d}} \times \mathbf{B}\right)$给出。如果我们考虑一个稳态状态，我们有$\dot{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}=0$，运动方程导致$v{\mathrm{d}, x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_x-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B \quad v_{\mathrm{d}, y} \quad$和$\quad v_{\mathrm{d}, y}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} E_y+\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B v_{\mathrm{d}, x}$，
通过施加没有横向电流在$y$方向流动的条件(对应于条件$v_y=0$的开路配置)，我们得到
$$
\frac{E_y}{E_x}=-\frac{e \tau_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{e}}} B,
$$
，这允许我们定义霍尔系数$R_{\mathrm{H}}$为
$$
R_{\mathrm{H}}=\frac{E_y}{j_x B}=\frac{E_y}{\sigma_{\mathrm{e}} E_x B}=-\frac{1}{n_{\mathrm{e}} e},
$$
，其中$j_x$是沿$x$方向的电流密度，方程(7.7)已被用于电导率$\sigma_{\mathrm{e}}$。因此，德鲁德理论预测霍尔系数与施加的磁场无关，在任何情况下都是负的。不幸的是，这两个结论都是错误的!
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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