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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|PHYS4210

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The lattice heat capacity

The energy content of a physical system is thermodynamically accounted for by its internal energy $\mathcal{U}$ (see appendix $C$ ) whose derivative with respect to temperature
\mathcal{C}_V=\left.\frac{d \mathcal{U}}{d T}\right|_V,
is known as the heat capacity at constant volume $V$ : it represents the amount of heat we need to quasi-statically provide in order to increase the system temperature by one degree.

The first attempts to derive a microscopic theory for $\mathcal{C}_V$ in crystalline solids were developed at the dawn of the XXth century. In many respects, we can consider these investigations as the beginning of quantum solid state physics [1]. Developing a microscopic theory was certainly worthy of effort since the classical theory of $\mathcal{C}_V$ is contradicted by the experimental evidence. In order to outline this theory, outdated but still valuable for our pedagogical approach to the thermal properties, we preliminarily remark that there are three main contributions to the heat capacity of a crystal, respectively, deriving from lattice vibrations, conduction electrons, and magnetic ordering. In non-magnetic insulators the first one is by far the leading one and in this chapter we focus just on it ${ }^1$.

Classically the internal energy $\mathcal{U}$ of a crystal containing $N$ atoms corresponds to the vibrational energy of $3 N$ one-dimensional harmonic oscillators, as calculated by means of the equipartition theorem: if the crystal is in equilibrium at temperature $T$, an average energy $k_{\mathrm{B}} T / 2$ is attributed to each energy contribution which is quadratic either in general coordinates or momenta. Therefore, the average energy of each atomic oscillator is estimated to be $\langle u(T)\rangle=k_{\mathrm{B}} T$ so that
\mathcal{U}=3 N\langle u(T)\rangle=3 N k_{\mathrm{B}} T=3 R T,
where we have hereafter assumed that $N=\mathcal{N}_A$ (i.e. we have an Avogadro number of atoms in the crystal), while $R=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}$ is the universal gas constant. The corresponding classical prediction for the heat capacity $\mathcal{C}_V=3 R$ is known as the Dulong-Petit law. Contrary to this, experimental measurements provide evidence that $\mathcal{C}_V \rightarrow 0$ for $T \rightarrow 0$. More specifically, it is found that $\mathcal{C}_V \sim T^3$ in the range of vanishingly small temperatures. The measured $\mathcal{C}_V$ approaches the predicted value only at very high temperature. In conclusion, the classical theory is unable to justify the observed $\mathcal{C}_V=\mathcal{C}_V(T)$ trend over the full range of temperatures.

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The Debye model for the heat capacity

The Einstein model is correct in treating atomic vibrations as quantum oscillators, but it fails in attributing the same frequency to all of them: simply, this is inconsistent with the knowledge of the dispersion relations we developed in chapter 3. We must therefore introduce in the theory the fundamental notion that atomic oscillators can vibrate at different frequencies. Within the Debye model this notion is developed in a simplified way which allows us to carry on a clean analytical calculation of the heat capacity.

According to Debye, all phonon dispersion relations are effectively described by only three effective acoustic branches whose extension in wavevector, however, exceeds the boundary of the $1 \mathrm{BZ}$. This is shown in figure 4.2: the low and high $q$-values of the effective branch, respectively, describe an acoustic and an optical vibration of the real crystal. Furthermore, since for any direction there are in fact three possible phonon polarisations, the linearisation of their dispersions must properly take care to distinguish between one effective longitudinal and two effective transverse branches with slope $v_{\mathrm{g}}^{(L)}$ and $v_{\mathrm{g}}^{(T)}$, respectively (see section 3.2.1). To this aim it is useful to introduce the effective speed of sound $v_{\text {eff }}$ defined as
\frac{3}{v_{\text {eff }}^3}=\frac{1}{\left[v_{\mathrm{g}}^{(L)}\right]^3}+\frac{2}{\left[v_{\mathrm{g}}^{(T)}\right]^3} .
We can now calculate the density of vibrational states in the Debye model $G_{\mathrm{D}}(\omega)$ by making use of equation (3.42) elaborated for a single branch so that
G_{\mathrm{D}}(\omega)=3 \frac{V}{2 \pi^2} q^2 \frac{1}{d \omega / d q}=3 \frac{V}{2 \pi^2} \frac{\omega^2}{v_{\text {eff }}^3}=\frac{V}{2 \pi^2}\left{\frac{1}{\left[v_{\mathrm{g}}^{(L)}\right]^3}+\frac{2}{\left[v_{\mathrm{g}}^{(T)}\right]^3}\right} \omega^2,
where we set $\omega=v_{\text {eff }} q$ consistently with the linearisation procedure; the factor 3 takes into account the three possible polarisations. Interesting enough, we find $a$ quadratic dependence of the VDOS upon the frequency: this feature is indeed found in real materials in the acoustic region of the vibrational spectrum, that is, exactly where the phonon dispersion relations are linear as supposed in the Debye model (see section 3.7).

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|PHYS4210


物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The lattice heat capacity

物理系统的能量含量在热力学上由其内部能量解释 $\mathcal{U}($ 参见附录 $C$ ) 其对温度的导数
\mathcal{C}V=\left.\frac{d \mathcal{U}}{d T}\right|_V, $$ 称为定容热容 $V$ :它表示我们需要准静态提供的热量,以便将系统温度提高一度。 第一次尝试为 $\mathcal{C}_V$ 在 20 世纪初开发了结晶固体。在许多方面,我们可以将这些研究视为量子固态物理学的开端[1]。发展一个微观理论当然是值得努力的,因为经典 的理论 $\mathcal{C}_V$ 与实验证据相矛盾。为了概述这个已经过时但对我们对热性质的教学方法仍然有价值的理论,我们初步指出,对晶体的热容量有三个主要贡献,分别来 自晶格振动、传导电子和磁排序. 在非磁性绝缘体中,第一个是迄今为止领先的,在本章中我们只关注它 1 . 经典的内能 $\mathcal{U}$ 含有晶体的 $N$ 原子对应的振动能量 $3 N$ 通过均分定理计算的一维谐振子: 如果晶体在温度下处于平衡状态 $T$ ,平均能量 $k{\mathrm{B}} T / 2$ 归因于在一般坐标或动量 中是二次的每个能量贡献。因此,每个原子振荡器的平均能量估计为 $\langle u(T)\rangle=k_{\mathrm{B}} T$ 以便
\mathcal{U}=3 N\langle u(T)\rangle=3 N k_{\mathrm{B}} T=3 R T,
此后我们假设 $N=\mathcal{N}_A$ (即我们在晶体中有一个 Avogadro 原子数),而 $R=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}$ 是通用气体常数。热容量的相应经典预测 $\mathcal{C}_V=3 R$ 被称为 Dulong-Petit 定律。与此相反,实验测量提供的证据表明 $\mathcal{C}_V \rightarrow 0$ 为了 $T \rightarrow 0$. 更具体地说,发现 $\mathcal{C}_V \sim T^3$ 在微乎其微的温度范围内。测量的 $\mathcal{C}_V$ 只有在非常高的温 度下才接近预测值。总之,经典理论无法证明观察到的 $\mathcal{C}_V=\mathcal{C}_V(T)$ 在整个温度范围内的趋势。

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|The Debye model for the heat capacity

爱因斯坦模型将原子振动视为量子振荡器是正确的,但它末能将相同的频率归因于所有它们: 简单地说,这与我们在第 3 章中开发的色散关系的知识不一致。因 此,我们必须在理论原子振芴器可以以不同频率振动的基本概念。在德拜模型中,这个概念以简化的方式发展起来,使我们能够对热容量进行干净的分析计算。
根据德拜,所有声子色散关系仅由三个有效声学分支有效地描述,但是其在波向量中的扩展超过了边界 $1 \mathrm{BZ}$. 如图 4.2所示: 低和高 $q$ 有效分支的 – 值分别描述了真 实晶体的声学和光学振动。此外,由于对于任何方向实际上存在三种可能的声子极化,它们色散的线性化必须适当注意区分一个有效的纵向分支和两个具有斜率的 有效横向分支 $v_{\mathrm{g}}^{(L)}$ 和 $v_{\mathrm{g}}^{(T)}$ ,分别(见第 $3.2 .1$ 节) 。为此目的,引入有效声速是有用的 $v_{\text {eff }}$ 定义为
我们现在可以计算德拜模型中的振动态密度 $G_{\mathrm{D}}(\omega)$ 通过利用为单个分支详细阐述的等式 (3.42) 使得
\1eft 的分隔符缺失或无法识别
我们设置的地方 $\omega=v_{\text {eff }} q$ 与线性化程序一致;因子 3 考虑了三种可能的极化。有趣的是,我们发现 $a \mathrm{VDOS}$ 对频率的二次依赖性: 这个特征确实存在于振动频谱的 声学区域的真实材料中,也就是说,正如德拜模型中假设的那样,声子色散关系是线性的 (见第 $3.7$ 节)。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。