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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Key Features of a Random Variable

First, the term “random variable” is a misnomer since, in light of its definition in (3.2), $X(.)$ is just a real-valued function that involves no probabilities, i.e. it is neither random nor a variable. However, the term is so deeply embedded in the literature that it will be hopeless to attempt to replace it with a more pertinent term. that a certain real-valued function is not a random variable with respect to a particular $\Re$ does not mean that it cannot be a random variable with respect to some other event space. Indeed, in Example $3.1$ one can define an event space, say $\Im_Y$, with respect to which $Y$ constitutes a random variable.

Example 3.2 To see that, let us return to the pre-images of $Y^{-1}(y), y=0,1,2$ in (3.4) and define the events
$$A_1:=Y^{-1}(0)={(H H),(T T)}, A_2:=Y^{-1}(1)={(H T)}, A_3:=Y^{-1}(2)={(T H)} .$$
We use $\left(A_1, A_2, A_3\right)$ to generate a field:
$$\Im_Y:=\sigma(Y)=\left{S, \varnothing, A_1, A_2, A_3, A_1 \cup A_2, A_1 \cup A_3, A_2 \cup A_3\right} .$$
$\Im_Y:=\sigma(Y)$ is known as the minimal field generated by the random variable $Y$. This concept gives rise to an alternative but equivalent definition for a random variable that generalizes directly to the case where $S$ is unaccountable.

Random variable. The real-valued function $X(.): S \rightarrow \mathbb{R}_X$ is said to be a random variable with respect to $\Im$ if the $\sigma$-field generated by $X$ is a subset of $\Im$, i.e. $\sigma(X) \subseteq \Im$.
In example $3.1, \sigma(X)=\Im$ (verify), but in general it can be a proper subset of $\Re$.
Examinlè 3.3 The real-valuèd function
$$Z(H T)=Z(T H)=0, \quad Z(H H)=Z(T T)=1$$ is a random variable relative to $\Re$ since $\sigma(Z)={S, \varnothing, C, \bar{C}} \subset \Im$, where
\begin{aligned} &C:={s: Z=0}:=Z^{-1}(0)={(H T),(T H)}, \ &\bar{C}:={s: Z=1}:=Z^{-1}(1)={(H H),(T T)} . \end{aligned}

Using the concept of a random variable, we mapped $S$ (an arbitrary set) to a subset of the real line (a set of numbers) $\mathbb{R}_X$. Because we do not want to change the original probability structure of $(S, \Im, \mathbb{P}(.))$, we imposed condition (3.2) to ensure that all events defined in terms of the random variable $X$ belong to the original event space \$$. We also want to ensure that the same events in the original probability space (S, \Im, \mathbb{P}(.)) and the new formulation, such as A_x={s: X(s)=x}, get assigned the same probabilities. In order to ensure that, we define the point function f_x(.), which we call a density function, as follows:$$ f_x^{\prime}(x):=\mathbb{P}(X=x) \text { for all } x \in \mathbb{R}_X \text {. } $$Note that (X=x) is a shorthand notation for {s: X(s)=x}. Clearly, for x \notin \mathbb{R}_X, X^{-1}(x)=\varnothing, and thus f_x(x)=0, for all x \notin \mathbb{R}_X. Example 3.6 In the case of the indicator function, if we let X(s):=I_A(s) we can define the probability density as follows:$$ f_x(1):=\mathbb{P}(X=1)=\theta \text { and } f_x(0):=\mathbb{P}(X=0)=(1-\theta), $$where 0 \leq \theta \leq 1. This is known as the Bernoulli density: \begin{tabular}{|c||c|c|} \hlinex & 0 & 1 \ \hline \hlinef_x(x) & (1-\theta) & \theta \ \hline \end{tabular} • What have we gained? In the context of the original probability space (S, \Im, \mathbb{P}(.)), where S=\left{s_1, s_2, \ldots, s_n\right}, the probabilistic structure of the experiment was specified in terms of$$ \mathbf{P}:=\left{p\left(s_1\right), p\left(s_2\right), \ldots, p\left(s_n\right)\right} \text {, such that } \sum_{i=1}^n p\left(s_i\right)=1 . $$Armed with this we could assign a probability of any event A \in \Im as follows. We know that all events A \in \Im are just unions of certain outcomes. Given that outcomes are also mutually exclusive elementary events, we proceed to use Axiom [3] (see Chapter 2) to define the probability of A as equal to the sum of the probabilities assigned to each of the outcomes making up the event A, i.e. if A=\left{s_1, s_2, \ldots, s_k\right}, then:$$ \mathbb{P}(A)=\sum_{i=1}^k p\left(s_i\right) $$统计推断代考 统计代写|统计推断代写统计推断代考|随机变量的关键特性 首先，术语“随机变量”是一个错误的名称，因为根据其在(3.2)中的定义，X(.)只是一个实值函数，不涉及概率，即它既不是随机的，也不是一个变量。然而，这个词在文献中根深蒂固，试图用一个更贴切的词来取代它是没有希望的。一个实值函数对于某个特定的\Re不是随机变量，这并不意味着它对于其他事件空间就不能是随机变量。实际上，在示例3.1中，可以定义一个事件空间，比如\Im_Y, Y相对于它构成一个随机变量 为了看到这一点，让我们返回到(3.4)中Y^{-1}(y), y=0,1,2的前映像并定义事件$$ A_1:=Y^{-1}(0)={(H H),(T T)}, A_2:=Y^{-1}(1)={(H T)}, A_3:=Y^{-1}(2)={(T H)} . $$我们使用\left(A_1, A_2, A_3\right)生成一个字段:$$ \Im_Y:=\sigma(Y)=\left{S, \varnothing, A_1, A_2, A_3, A_1 \cup A_2, A_1 \cup A_3, A_2 \cup A_3\right} . $$\Im_Y:=\sigma(Y)被称为随机变量Y生成的最小字段。这个概念产生了一个可选但等价的随机变量定义，它可以直接推广到S不可问责的情况 随机变量。实值函数 X(.): S \rightarrow \mathbb{R}_X 是关于?的随机变量 \Im 如果 \sigma产生的-字段 X 是 \Im，即 \sigma(X) \subseteq \Im. 示例 3.1, \sigma(X)=\Im (验证)，但通常它可以是 \Re. Examinlè 3.3 real-valuèd函数 .$$ Z(H T)=Z(T H)=0, \quad Z(H H)=Z(T T)=1 $$随机变量是相对于 \Re 自从 \sigma(Z)={S, \varnothing, C, \bar{C}} \subset \Im，式中$$ \begin{aligned} &C:={s: Z=0}:=Z^{-1}(0)={(H T),(T H)}, \ &\bar{C}:={s: Z=1}:=Z^{-1}(1)={(H H),(T T)} . \end{aligned} $$统计代写|统计推断代写统计推断代考|分配概率 使用随机变量的概念，我们将S(一个任意集)映射到实行的一个子集(一组数字)\mathbb{R}_X。因为我们不想改变(S, \Im, \mathbb{P}(.))的原始概率结构，所以我们施加了条件(3.2)来确保用随机变量X定义的所有事件都属于原始事件空间\$$。我们还希望确保原始概率空间(S, \Im, \mathbb{P}(.))$和新公式(如$A_x={s: X(s)=x}$)中的相同事件被分配相同的概率。为了确保这一点，我们定义了点函数$f_x($.)，我们将其称为密度函数，如下所示: $$f_x^{\prime}(x):=\mathbb{P}(X=x) \text { for all } x \in \mathbb{R}_X \text {. }$$ 注意$(X=x)$是${s: X(s)=x}$的简写。显然，对于$x \notin \mathbb{R}_X, X^{-1}(x)=\varnothing$，因此是$f_x(x)=0$，对于所有$x \notin \mathbb{R}_X$. 例3.6在指示器函数的例子中，如果我们让$X(s):=I_A(s)$，我们可以定义概率密度如下: $$f_x(1):=\mathbb{P}(X=1)=\theta \text { and } f_x(0):=\mathbb{P}(X=0)=(1-\theta),$$ 其中$0 \leq \theta \leq 1$。这就是伯努利密度: \begin{tabular}{|c||c|c|} \hline$x$& 0 & 1 \ \hline \hline$f_x(x)$&$(1-\theta)$&$\theta$\ \hline \end{tabular} • 我们得到了什么?在原始概率空间$(S, \Im, \mathbb{P}(.))$的上下文中，其中$S=\left{s_1, s_2, \ldots, s_n\right}$，实验的概率结构被指定为 $$\mathbf{P}:=\left{p\left(s_1\right), p\left(s_2\right), \ldots, p\left(s_n\right)\right} \text {, such that } \sum_{i=1}^n p\left(s_i\right)=1 .$$ 。有了这个，我们可以分配任何事件的概率$A \in \Im$，如下所示。我们知道所有的事件$A \in \Im$只是某些结果的结合。考虑到结果也是互斥的基本事件，我们继续使用Axiom[3](参见第二章)定义$A$的概率等于分配给组成事件$A$的每个结果的概率之和，即$A=\left{s_1, s_2, \ldots, s_k\right}\$，那么:
$$\mathbb{P}(A)=\sum_{i=1}^k p\left(s_i\right)$$

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