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统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。
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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Loop grand potential and derivatives
The independent harmonic oscillators analyzed in the preceding section belong to a general class of systems wherein the energy states are single-particle states. The occupancy statistics of such states has been analyzed by Pathria (1972, section 6.3), which treatment is largely followed here.
Equation (3.59) expresses the grand potential for single-particle state systems as a series of loop potentials. As mentioned above, following the analysis of singleparticle energy states in section 3.4.3, the loop grand potential, equation (3.58), is given by
$$
-\beta \Omega_{l}^{\pm}=\frac{(\pm 1)^{l-1} z^{l}}{l} \sum_{n} e^{-\beta l e_{n}} .
$$
Here $n$ labels a single-particle state, and $\varepsilon_{n}$ is its energy, which is the energy of a particle in that state. The fugacity is related to the chemical potential as $z=e^{\beta \mu}$. The grand potential itself is the sum of these loop potentials
$$
\begin{aligned}
-\beta \Omega^{\pm} &=\sum_{l=1}^{\infty} \frac{(\pm 1)^{l-1} z^{l}}{l} \sum_{n} e^{-l \beta e_{n}} \
&=\mp \sum_{n} \ln \left[1 \mp z e^{-\beta e_{n}}\right] .
\end{aligned}
$$
As derived in equation (4.26), the final equality is the expression for the grand potential of single-particle state systems more usually to be found in textbooks (Pathria 1972, section 6.2).
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Occupancy fluctuations
It is of interest to analyze the fluctuations in the occupancy of the single-particle states. In general fluctuations are given by the second derivative of the grand potential (Pathria 1972, Attard 2002). In the present case we have (dropping the subscripts on the averages)
$$
\begin{aligned}
\left\langle N_{j}^{2}\right\rangle^{\pm}-\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2} &=\beta^{-2}\left[\frac{\partial^{2}\left(-\beta \Omega_{1}^{\pm}\right)}{\partial \varepsilon_{j}^{2}}\right]{z, V, e{k+j}} \
&=-\beta^{-1}\left[\frac{\partial\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}{\partial \varepsilon_{j}}\right]{z, V} \end{aligned} $$ Hence the mean square relative fluctuation is $$ \begin{aligned} \frac{\left\langle N{j}^{2}\right\rangle^{\pm}-\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2}}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2}} &=\frac{-1}{\beta\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}\left[\frac{\partial \ln \left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}{\partial \varepsilon_{j}}\right]{z, V} \ &=\frac{1}{\left\langle N{j}\right\rangle^{\pm}} \pm \frac{1}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}} \frac{z e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{1 \mp z e^{-\beta \varepsilon_{j}}} \
&=\frac{1}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}} \pm 1
\end{aligned}
$$
The first term on the right-hand side is the classical result, (without the superscript $+$ ). At low occupancy, $\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm} \rightarrow 0$, this dominates, as is expected. It shows that the fluctuations in the occupancy of any single-particle state are relatively large in this regime, again as expected.
The quantum correction for bosons, $+1$, shows that the fluctuations are of the same order as the occupancy number itself in the high occupancy regime, $\mu \rightarrow \varepsilon_{j}^{-}$, $\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm} \rightarrow \infty$. In contrast, the quantum correction for fermions, $-1$, cancels with the classical contribution in the full occupancy regime, $\mu \gg \varepsilon_{j},\left\langle N_{j}\right\rangle^{-} \rightarrow 1$, which is to say that the fluctuations vanish. In this regime there is a high probability that the singleparticle state is always occupied by a fermion, and a correspondingly low probability that it is ever unoccupied.
统计力学代考
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Loop grand potential and derivatives
上一节中分析的独立谐振子属于一类一般系统，其中能量状态是单粒子状态。Pathria（1972 年，第 $6.3$ 节) 分析了这些州的入住率统计数据，这里主要采用这种 处理方式。
等式 (3.59) 将单粒子状态系统的大势表示为一系列环势。如上所述，根据 $3.4 .3$ 节中对单粒子能态的分析，环大势，方程 (3.58) 由下式给出
$$
-\beta \Omega_{l}^{\pm}=\frac{(\pm 1)^{l-1} z^{l}}{l} \sum_{n} e^{-\beta l e_{n}} .
$$
这里 $n$ 标记单粒子状态，并且 $\varepsilon_{n}$ 是它的能量，也就是粒子在那个状态下的能量。逸度与化学势有关 $z=e^{\beta \mu}$. 大势本身就是这些循环势的总和
$$
-\beta \Omega^{\pm}=\sum_{l=1}^{\infty} \frac{(\pm 1)^{l-1} z^{l}}{l} \sum_{n} e^{-l \beta e_{n}} \quad=\mp \sum_{n} \ln \left[1 \mp z e^{-\beta e_{n}}\right] .
$$
正如等式 (4.26) 中所推导出的，最终等式是单粒子状态系统的巨大潜力的表达式，通常在教科书中找到 (Pathria 1972，第 $6.2$ 节) 。
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Occupancy fluctuations
分析单粒子状态的占有率的波动是很有趣的。一般来说，波动由大势的二阶导数给出 (Pathria 1972，Attard 2002)。在本例中，我们有 (在平均值上去掉下标)
$$
\left\langle N_{j}^{2}\right\rangle^{\pm}-\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2}=\beta^{-2}\left[\frac{\partial^{2}\left(-\beta \Omega_{1}^{\pm}\right)}{\partial \varepsilon_{j}^{2}}\right] z, V, e k+j \quad=-\beta^{-1}\left[\frac{\partial\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}{\partial \varepsilon_{j}}\right] z, V
$$
因此均方相对波动为
$$
\frac{\left\langle N j^{2}\right\rangle^{\pm}-\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2}}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm 2}}=\frac{-1}{\beta\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}\left[\frac{\partial \ln \left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}}{\partial \varepsilon_{j}}\right] z, V \quad=\frac{1}{\langle N j\rangle^{\pm}} \pm \frac{1}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}} \frac{z e^{-\beta \varepsilon_{j}}}{1 \mp z e^{-\beta \varepsilon_{j}}}=\frac{1}{\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm}} \pm 1
$$
右边的第一项是经典结果，（没有上标 $+$ )。在入住率低的情况下， $\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm} \rightarrow 0$ ，正如预期的那样，这占主导地位。它表明，在这种情况下，任何单粒子状态的 占有率波动都相对较大，再次如预期的那样。
玻色子的量子校正， $+1$ ，表明在高入住率情况下，波动与入住人数本身的数量级相同， $\mu \rightarrow \varepsilon_{j}^{-},\left\langle N_{j}\right\rangle^{\pm} \rightarrow \infty$. 相比之下，费米子的量子校正， $-1$, 与全占用制 度中的经典贡献相抵消， $\mu \gg \varepsilon_{j},\left\langle N_{j}\right\rangle \rightarrow 1$ ，也就是说波动消失了。在伩种情况下，单粒子状态总是被费米子占据的可能性很高，而它从末被占据的可能性相对较低。
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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