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## 物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Identical fermions at T = 0

In the limit $T \rightarrow 0$, the Fermi factor becomes a step function, ${ }^{35}$
$$n(E)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(E-\mu)}+1} \stackrel{T \rightarrow 0}{\longrightarrow}\left{\begin{array}{ll} 1 & EE_F \end{array} \equiv \theta\left(E_F-E\right),\right.$$ where $E_F \equiv \mu(T=0)$ is the zero-temperature limit ${ }^{36}$ of the chemical potential, and $\theta(x)$ is the Heaviside step function, $\theta(x) \equiv\left{\begin{array}{ll}0 & x<0 \\ 1 & x>0\end{array}\right.$, the graph of which is shown in Fig. 5.7.

The Fermi energy is easy to calculate. Combining Eq. (5.84) with Eq. (5.59),
\begin{aligned} N &=\int_0^{\infty} g(E) n(E) \mathrm{d} E=\int_0^{E_F} g(E) \mathrm{d} E=g \frac{V}{4 \pi^2}\left(\frac{2 m}{\hbar^2}\right)^{3 / 2} \int_0^{E_F} \sqrt{E} \mathrm{~d} E \ &=g \frac{V}{6 \pi^2}\left(\frac{2 m}{\hbar^2}\right)^{3 / 2} E_F^{3 / 2} \end{aligned}
implying
$$E_F=\frac{\hbar^2}{2 m}\left(\frac{6 \pi^2}{g} n\right)^{2 / 3} .$$
The energy of the “last” particle added to the system, $E_F$, is therefore the chemical potential of the $N$-particle system – the energy required to add one more particle. From Eq. (5.86), we see that the higher the density, the larger the Fermi energy – adding more particles to the same volume requires progressively higher and higher energy levels to be filled. Equation (5.86) implies an equivalent temperature associated with particles at the Fermi energy, the Fermi temperature, $T_F$ defined so that $k T_F=E_F$,
$$T_F=\frac{\hbar^2}{2 m k}\left(\frac{6 \pi^2}{g} n\right)^{2 / 3} .$$
It should not be construed that particles actually have the Fermi temperature (the temperature here is $T=0$ ); $T_F$ is a convenient way to characterize the Fermi energy.

The Fermi energy can be quite large relative to other energies. Table $5.2$ lists the density $n$ of free electrons (those available to conduct electricity ${ }^{37}$ ) for selected elements in their metallic states, together with the value of $E_F$ as calculated from Eq. (5.86) using $g=2$ for electrons $\left(S=\frac{1}{2}\right.$ ). We can associate with $E_F$ an equivalent speed known as the Fermi velocity, $v_F \equiv \sqrt{2 E_F / \mathrm{m}}$. The Fermi velocity is the speed of an electron having energy $E_F$.

## 物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Chemical potential

Referring to Eq. (5.63), at low temperatures, $k T \ll \mu$, i.e., $\beta \mu \gg 1$, the Fermi distribution transitions from 1 to 0 over a narrow energy range about $E=\mu$. Under these circumstances there exists a method for accurately approximating integrals such as we have in Eq. (5.63), the Sommerfeld expansion, Eq. (B.49). Using Eq. (5.69),
\begin{aligned} N(T, V, \mu) &=\frac{g V}{\lambda_T^3} F_{3 / 2}(\beta \mu)=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-\beta \mu}+1} \mathrm{~d} x \ &=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)}\left[\int_0^{\beta \mu} \sqrt{x} \mathrm{~d} x+\frac{\pi^2}{12 \sqrt{\beta \mu}}+\frac{7 \pi^4}{960(\beta \mu)^{5 / 2}}+\cdots\right] \ &=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)} \frac{2}{3}(\beta \mu)^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2}{8} \frac{1}{(\beta \mu)^2}+\frac{7 \pi^4}{640} \frac{1}{(\beta \mu)^4}+\cdots\right] \end{aligned}
where in the second line we’ve applied the Sommerfeld expansion to second order in small quantities. Equation (5.97) implies, for the density,
$$\left(\frac{\hbar^2}{2 m}\right)^{3 / 2} \frac{6 \pi^2}{g} n(T, \mu)=\mu^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2}{8(\beta \mu)^2}+\frac{7 \pi^4}{640(\beta \mu)^4}+\cdots\right]$$

This equation simplifies upon dividing by $E_F^{3 / 2}$ :
$$\frac{n(T, \mu)}{n_0}=\left(\frac{\mu}{E_F}\right)^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2}{8(\beta \mu)^2}+\frac{7 \pi^4}{640(\beta \mu)^4}+\cdots\right],$$
where $n_0$ denotes the density at $T=0$. Our goal is to invert Eq. (5.98), ${ }^{41}$ to obtain an implicit expression for $\mu(n, T)$ for temperatures $T \ll T_F$.

Equation (5.98) reduces to an identity at $T=0: 1=1$. Let’s write in Eq. $(5.98), \mu \equiv E_F(1+y)$, where $y$ is a dimensionless function that vanishes as $T \rightarrow 0$ :
$$\frac{n(T, y)}{n_0}=(1+y)^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2\left(T / T_F\right)^2}{8(1+y)^2}+\frac{7 \pi^4\left(T / T_F\right)^4}{640(1+y)^4}+\cdots\right] .$$
Expand the right side of Eq. (5.99) to second order in $y$. We find:
\begin{aligned} \frac{n(t, y)}{n_0}=y^0 &\left(1+\frac{\pi^2}{8} t^2+\frac{7 \pi^4}{640} t^4+\cdots\right)+y\left(\frac{3}{2}-\frac{\pi^2}{16} t^2-\frac{7 \pi^4}{256} t^4+\cdots\right) \ &+y^2\left(\frac{3}{8}+\frac{3 \pi^2}{64} t^2+\frac{49 \pi^4}{1024} t^4+\cdots\right)+O\left(y^3\right) \end{aligned}
where $t \equiv T / T_F$. The quantity $y$ in Eq. (5.100) must vanish as $T \rightarrow 0$. Noting that $n$ varies with temperature in Eq. (5.100) (for fixed $\mu$ ) as powers of $t^2$, let’s guess that $y$ is a function of $t^2$ as well (for small $t$ ). Let $y=a t^2+b t^4+\cdots$ where $a$ and $b$ are dimensionless constants, to be determined. Keeping terms to second order in small quantities, we have from Eq. (5.100),
$$\frac{n(t)}{n_0}=1+t^2\left[\frac{\pi^2}{8}+\frac{3}{2} a\right]+t^4\left[\frac{7 \pi^4}{640}-\frac{\pi^2}{16} a+\frac{3}{2} b+\frac{3}{8} a^2\right]+\cdots$$

# 统计力学代考

## 物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Identical fermions at T = 0

$\$ \$$\mathrm{n}(\mathrm{E})=\backslash frac {1} \backslash \backslash mathrm {\mathrm{e}}^{\wedge}{\backslash beta \left.(\mathrm{E}-\backslash \mathrm{mu})}+1\right} \backslash stackrel {\mathrm{T} \backslash rightarrow 0} \backslash longrightarrow } \backslash \mathrm{eft}^{\prime}{ 1 E E_F$$
\begin{array}{ll}
0 & x<0 \\ 1 & x>0
\end{array}
$$(right.\，其图形如图 5.7 所示。 费米能量很容易计算。结合方程式。 (5.84) 与等式。(5.59)，$$
N=\int_0^{\infty} g(E) n(E) \mathrm{d} E=\int_0^{E F} g(E) \mathrm{d} E=g \frac{V}{4 \pi^2}\left(\frac{2 m}{\hbar^2}\right)^{3 / 2} \int_0^{E F} \sqrt{E} \mathrm{~d} E \quad=g \frac{V}{6 \pi^2}\left(\frac{2 m}{\hbar^2}\right)^{3 / 2} E_F^{3 / 2}
$$暗示$$
E_F=\frac{\hbar^2}{2 m}\left(\frac{6 \pi^2}{g} n\right)^{2 / 3}
$$添加到系统中的“最后一个“粒子的能量， E_F ，因此是化学势 N-粒子系统一一再添加一个粒子所需的能量。从方程式。（5.86)，我们看到密度越高，费米能量越大 一在相同体积中添加更多粒子需要越来越高的能级来填充。方程 (5.86) 暗示了与粒子在费米能量下的等效温度，费米温度， T_F 定义为 k T_F=E_{F \text { ， }}$$
T_F=\frac{\hbar^2}{2 m k}\left(\frac{6 \pi^2}{g} n\right)^{2 / 3}
$$不应认为粒子实际上具有费米温度（这里的温度是 T=0) ; T_F 是表征费米能量的一种方便方法。 相对于其他能量，费米能量可能相当大。桌子 5.2 列出密度 n 自由电子（可用于导电的电子 { }^{37} ) 对于处于金属状态的选定元素，以及 E_F 从方程式计算。(5.86) 使用 g=2 用于电子 \left(S=\frac{1}{2}\right) 。我们可以与 E_F 称为费米速庻的等效速庻， v_F \equiv \sqrt{2 E_F / \mathrm{m}}. 费米速度是具有能量的电子的速庻 E_F. ## 物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Chemical potential 参考方程式。(5.63)，在低温下， k T \ll \mu ，那是， \beta \mu \gg 1 ，费米分布在一个狭窄的能量范围内从 1 转变为 0 E=\mu. 在这些情况下，存在一种精确逼近积分的方 法，例如我们在等式中的方法。(5.63)，Sommerfeld 展开式，方程。(B.49) 。使用方程式。(5.69)，$$
N(T, V, \mu)=\frac{g V}{\lambda_T^3} F_{3 / 2}(\beta \mu)=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-\beta \mu}+1} \mathrm{~d} x \quad=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)}\left[\int_0^{\beta \mu} \sqrt{x} \mathrm{~d} x+\frac{\pi^2}{12 \sqrt{\beta \mu}}+\frac{7 \pi^4}{960(\beta \mu)^{5 / 2}}+\cdots\right]=\frac{g V}{\lambda_T^3} \frac{1}{\Gamma(3 / 2)} \frac{2}{3}(\beta \mu
$$在第二行中，我们将 Sommerfeld 展开小批量应用于二阶。等式 (5.97) 意味着，对于密度，$$
\left(\frac{\hbar^2}{2 m}\right)^{3 / 2} \frac{6 \pi^2}{g} n(T, \mu)=\mu^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2}{8(\beta \mu)^2}+\frac{7 \pi^4}{640(\beta \mu)^4}+\cdots\right]
$$这个等式简化为除以 E_F^{3 / 2} :$$
\frac{n(T, \mu)}{n_0}=\left(\frac{\mu}{E_F}\right)^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2}{8(\beta \mu)^2}+\frac{7 \pi^4}{640(\beta \mu)^4}+\cdots\right]
$$在哪里 n_0 表示密度 T=0. 我们的目标是反转方程式。(5.98), { }^{41} 获得一个隐式表达式 \mu(n, T) 对于温度 T \ll T_F. 等式 (5.98) 简化为一个恒等式 T=0: 1=1. 让我们写在方程式中。(5.98), \mu \equiv E_F(1+y) ，在哪里 y 是一个无量纲函数，它消失为 T \rightarrow 0 :$$
\frac{n(T, y)}{n_0}=(1+y)^{3 / 2}\left[1+\frac{\pi^2\left(T / T_F\right)^2}{8(1+y)^2}+\frac{7 \pi^4\left(T / T_F\right)^4}{640(1+y)^4}+\cdots\right] .
$$展开等式的右侧。(5.99) 到二阶 y \cdot 我们发现:$$
\frac{n(t, y)}{n_0}=y^0\left(1+\frac{\pi^2}{8} t^2+\frac{7 \pi^4}{640} t^4+\cdots\right)+y\left(\frac{3}{2}-\frac{\pi^2}{16} t^2-\frac{7 \pi^4}{256} t^4+\cdots\right) \quad+y^2\left(\frac{3}{8}+\frac{3 \pi^2}{64} t^2+\frac{49 \pi^4}{1024} t^4+\cdots\right)+O\left(y^3\right)
$$在哪里 t \equiv T / T_F. 数量 y 在等式。(5.100) 必须消失为 T \rightarrow 0. 注意到 n 在方程式中随温度而变化。(5.100) (对于固定 \mu ) 的权力 t^2, 让我们猜猜 y 是一个函数 t^2 以及 (对 于小 t) 。让 y=a t^2+b t^4+\cdots 在哪里 a 和 b 是无量纲常数，有待确定。保持少量的二阶条款，我们从方程式中得到。(5.100)，$$
\frac{n(t)}{n_0}=1+t^2\left[\frac{\pi^2}{8}+\frac{3}{2} a\right]+t^4\left[\frac{7 \pi^4}{640}-\frac{\pi^2}{16} a+\frac{3}{2} b+\frac{3}{8} a^2\right]+\cdots


## 有限元方法代写

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