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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Other features at equilibrium

For a given admissible discipline $\Phi$, the sequence $S^{\Phi}$ therefore provides more information on the steady-state of the system than the workload $W$. Let us show how this information can be used to deduce from this, other characteristics of the system at equilibrium, such as congestion and waiting time.

Let us denote $\left(X_{n}^{\Phi}, n \in \mathbf{N}\right)$ the sequence counting for any $n \in \mathbf{N}$ the number of customers found in the system by $C_{n}$, starting from the initial profile $S^{\Phi}$. Under these conditions, the sequence of the profiles found by the successive customers upon arrival is stationary and equals $\left(S^{\Phi} \circ \theta^{n}, n \in \mathbf{N}\right)$. In particular, the customer $C_{n}$ finds a service profile $S^{\Phi} \circ \theta^{n}$ upon arrival, and therefore
$$X_{n}^{\Phi}=N\left(S^{\Phi} \circ \theta^{n}\right)=N\left(S^{\Phi}\right) \circ \theta^{n} \text { a.s. for any } n \in \mathbf{N},$$
where $N(.)$ is the number of non-zero coordinates of the sequence (see A.3). This means that $\left(X_{n}^{\Phi}, n \in \mathrm{N}\right)$ is stationary and that a stationary congestion exists, given by $X^{\Phi}=N\left(S^{\Phi}\right)^{n}$

We can apply the same arguments to show the existence of a waiting time at equilibrium, using the service profile. Let us denote $\mathrm{TA}{n}^{\Phi}$ as the waiting time of the customer $C{n}$ before entering service under the admissible discipline $\Phi$ (let us recall that for $\left.\Phi=\mathrm{FIFO}, \mathrm{TA}{n}^{\Phi}=W{n}\right)$

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|optimality of FIFO

Let us consider a GI/GI/1 queue where $\lambda, \mu$, and $\rho$ denote the usual parameters. In addition to the common hypotheses, we assume that the sequences of inter-arrivals and service times are identically distributed and are independent of each other. We assume again that the stability condition [4.3] holds. We denote again for any $n, \mathrm{TA}{n}$, the waiting time of $C{n}$ before reaching the server, $\mathrm{Ts}{n}=\mathrm{TA}{n}+\sigma \circ \theta^{n}$ the sojourn time of $C_{n}$ and $T_{n}^{\prime}=T_{n}+\mathrm{Ts}{n}$, the departure time of $C{n}$. Subsequently, we emphasize the dependence on the service discipline whenever necessary by adding exponents FIFO and $\Psi$ to the various parameters. In particular, we know that a stationary waiting time $\mathrm{TA}^{\mathrm{FIFO}}$ (respectively $\mathrm{TA}^{\Psi}$ ) and a stationary sojourn time Ts $^{\mathrm{FIFO}}$ (respectively Ts $^{\Psi}$ ) exist under FIFO (respectively, $\Psi$ ).

THEOREM 4.10.- For any convex function $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ and any admissible discipline $\Psi$ non-preemptive and independent on the service times,
$$\mathbf{E}\left[g\left(\operatorname{Ts}^{\mathrm{FFO}}\right)\right] \leq \mathbf{E}\left[g\left(\operatorname{Ts}^{\Psi}\right)\right]$$
NOTE.- The FIFO discipline is thus optimal for the sojourn time among all the acceptable disciplines non-preemptive and independent of service times.

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Other features at equilibrium

$$X_{n}^{\Phi}=N\left(S^{\Phi} \circ \theta^{n}\right)=N\left(S^{\Phi}\right) \circ \theta^{n} \text { a.s. for any } n \in \mathbf{N},$$

䖸们可以使用服务配置文件应用相同的论点来证明平衡时存在等待时间。让我们表示 $\mathrm{TA} n^{\Phi}$ 作为客户的等待时间 $\mathrm{C}$ 在根据可接受的纪律进入服务之前 $\Phi$ (让我们 回想一下，对于 $\Phi=$ FIFO, $\left.\mathrm{TA} n^{\Phi}=W n\right)$

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|optimality of FIFO

$$\mathbf{E}\left[g\left(\operatorname{Ts}^{\mathrm{FFO}}\right)\right] \leq \mathbf{E}\left[g\left(\operatorname{Ts}^{\Psi}\right)\right]$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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