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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域,因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数,但没有可微的地方。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s continuity criterion

There are elements of Lévy’s construction that admit interesting generalizations, perhaps the most important of which is Kolmogorov’s continuity criterion.

Remember that when dealing with an uncountable number of random variables, in general one can measure only events that depend on countably many of them. As a consequence, one can change individual members on sets of measure 0 without effecting the probability of events that can be measured. With this in mind, one says that two families of random variables are versions of one another if one family can be obtained from the other by changing individual random variables on sets of measure 0 .

In the proof of the following theorem, we use the fact that if $Q$ is a closed cube in $\mathbb{R}^N$ and, for each vertex $\mathbf{v}$ of $Q, a_{\mathbf{v}}$ is an element of a vector space $E$, then there is a unique function $f: Q \longrightarrow E$, known as the multilinear extention of the $a_{\mathbf{v}}$ ‘s, such that $f(\mathbf{v})=a_{\mathbf{v}}$ for each vertex $\mathbf{v}$ and $f$ is an affine function of each coordinate. For example, if $Q=[0,1]^2$, then
$$
f\left(x_1, x_2\right)=\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right) a_{(0,0)}+\left(1-x_1\right) x_2 a_{(0,1)}+x_1\left(1-x_2\right) a_{(1,0)}+x_1 x_2 a_{(1,1)} .
$$
The general case can be proved by translation, scaling, and induction on $N$.
Theorem 2.1.2. Suppose that $\left{X(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in[0, R]^N\right}$ is a family of random variables taking values in a Banach space $E$, and assume that, for some $p \in[1, \infty), C<\infty$, and $r \in(0,1]$
$$
\mathbb{E}\left[|X(\mathbf{y})-X(\mathbf{x})|_E^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^{\frac{N}{p}+r} \quad \text { for all } \mathbf{x}, \mathbf{y} \in[0, R]^N .
$$
Then there exists a version $\left{\widetilde{X}(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in[0, R]^N\right}$ of $\left{X(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in[0, R]^N\right}$ such that $\mathbf{x} \in[0, R]^N \longmapsto \widetilde{X}(\mathbf{x})(\omega) \in E$ is continuous for all $\omega \in \Omega$. In fact, for each $\alpha \in[0, r)$, there is a $K<\infty$, depending only on $N, p, r$, and $\alpha$, such that
$$
\mathbb{E}\left[\sup _{\substack{\mathbf{x}, \mathbf{y} \in[0, R]^N \ \mathbf{x} \neq \mathbf{y}}}\left(\frac{|\widetilde{X}(\mathbf{y})-\widetilde{X}(\mathbf{x})|_E}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^\alpha}\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq K C R^{\frac{n}{p}+r-\alpha}
$$

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Brownian motion and Wiener measure

For various reasons, it has become common to give a more flexible description of what is meant by a Brownian motion. Given a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, a filtration (i.e., a non-decreasing family) $\left{\mathcal{F}t: t \geq 0\right}$ of sub- $\sigma$-algebras, and a family ${B(t): t \geq 0}$ of $\mathbb{R}^N$-valued random variables, one says that the triple $\left(B(t), \mathcal{F}_t, \mathbb{P}\right)$ is an $\mathbb{R}^N$-valued Brownian motion if (i) $\mathbb{P}$-almost surely, $B(0)=\mathbf{0}$ and $t \rightsquigarrow B(t)$ is continuous. (ii) For each $s \geq 0, B(s)$ is $\mathcal{F}_s$-measurable, and, for $t>s, B(t)-B(s)$ is independent of $\mathcal{F}_s$ and has distribution $\gamma{0,(t-s) \mathbf{I}}$.

It should be clear that ${B(t): t \geq 0}$ is a Brownian motion in the sense that (2.1.1) holds if and only if $\left(B(t), \mathcal{F}t, \mathbb{P}\right)$ is a Brownian motion in the preceding sense with $\mathcal{F}_t=\sigma({B(\tau): \in[0, t]})$, the $\sigma$-algebra generated by the path up until time $t$. However, there are many times when the natural choice of $\mathcal{F}_t$ ‘s are larger than this choice. For example, if $N \geq 2$ and $\left(B(t), \mathcal{F}_t, \mathbb{P}\right)$ is an $\mathbb{R}^N$-valued Brownian motion, then, for each $\mathbf{e} \in \mathbb{S}^{N-1},\left((\mathbf{e}, B(t)){\mathbb{R}^N}, \mathcal{F}t, \mathbb{P}\right)$ will be an $\mathbb{R}$-valued Brownian motion even though $$ \mathcal{F}_t \neq \sigma\left(\left{(\mathbf{e}, B(\tau)){\mathbb{R}^N}: \tau \in[0, t]\right}\right) .
$$
Another way to think about Brownian motion is in terms of Gaussian families. Suppose that ${X(t): t \geq 0}$ is a family of centered, Gaussian, $\mathbb{R}^N$-valued random variables on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, and assume that the span of $\left{(\boldsymbol{\xi}, X(t)){\mathbb{R}^N}: t \geq 0 \& \boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^N\right}$ is a centered Gaussian family. If $\mathcal{F}_t$ is the $\mathbb{P}$-completion of the $\sigma$-algebra generated by ${X(\tau): \tau \in[0, t]}$, then there is a Brownian motion $\left(B(t), \mathcal{F}_t, \mathbb{P}\right)$ such that $X(t)=B(t)$ (a.s., $\left.\mathbb{P}\right)$ for each $t \geq 0$ if and only if $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[(\boldsymbol{\xi}, X(s)){\mathbb{R}^N}(\boldsymbol{\eta}, X(t)){\mathbb{R}^N}\right]=s \wedge t(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}){\mathbb{R}^N}$ for all $s, t \in[0, \infty)$ and $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \in \mathbb{R}^N$.

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

随机微积分代考

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Kolmogorov’s continuity criterion

Lévy 的构造中有一些元素可以进行有趣的概括,其中最重要的可能是 Kolmogorov 的连续性准则。
请记住,当处理不可数的随机变量时,通常只能测量依赖于其中许多随机变量的事件。因此,人们可以在度量 0 的集合上更改单个成员,而不会影响可度量事件的 概率。考虑到这一点,如果一个族可以通过更改测量集 0 上的单个随机变量从另一个族获得,则可以说两个随机变量族是彼此的版本。
在以下定理的证明中,我们使用了如果 $Q$ 是一个封闭的立方体 $\mathbb{R}^N$ 并且,对于每个顶点 $\mathbf{v}$ 的 $Q, a_{\mathbf{v}}$ 是向量空间的一个元素 $E$ ,那么有一个唯一的函数 $f: Q \longrightarrow E$ ,称 为多线性扩展 $a_{\mathbf{v}}$ 的,这样 $f(\mathbf{v})=a_{\mathbf{v}}$ 对于每个顶点 $\mathbf{v}$ 和 $f$ 是每个坐标的仿射函数。例如,如果 $Q=[0,1]^2$ ,然后
$$
f\left(x_1, x_2\right)=\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right) a_{(0,0)}+\left(1-x_1\right) x_2 a_{(0,1)}+x_1\left(1-x_2\right) a_{(1,0)}+x_1 x_2 a_{(1,1)} .
$$
般情况可以通过平移、缩放和归纳来证明 $N$.
定理 2.1.2。假设 $\backslash 1 \mathrm{eft} \mathrm{t}$ 的分隔符缺失或无法识别 $r \in(0,1]$
$$
\mathbb{E}\left[|X(\mathbf{y})-X(\mathbf{x})|E^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq C|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^{\frac{N}{p}+r} \quad \text { for all } \mathbf{x}, \mathbf{y} \in[0, R]^N . $$ 然后存在一个版本 \left 的分隔符缺失或无法识别 的\1eft 的分隔符缺失或无法识别 有人都是连续的 $\omega \in \Omega$. 事实上,对于每个 $\alpha \in[0, r)$ ,有一个 $K<\infty$ ,仅取决于 $N, p, r$ ,和 $\alpha$, 这样 $$ \mathbb{E}\left[\sup {\mathbf{x}, \mathbf{y} \in[0, R]^N \mathbf{x} \neq \mathbf{y}}\left(\frac{|\widetilde{X}(\mathbf{y})-\widetilde{X}(\mathbf{x})|_E}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|^\alpha}\right)^p\right]^{\frac{1}{p}} \leq K C R^{\frac{n}{p}+r-\alpha}
$$

数学代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Brownian motion and Wiener measure

由于各种原因,对布朗运动的含义给出更灵活的描述已变得很普遍。给定一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) , 一$ 个过滤 (即一个非递减族) 几几乎可以肯定, $B(0)=\mathbf{0}$ 和 $t \rightsquigarrow B(t)$ 是连续的。(ii) 对于每个 $s \geq 0, B(s)$ 是 $\mathcal{F}_s$ 可测量的,并且,对于 $t>s, B(t)-B(s)$ 独立于 $\mathcal{F}_s$ 并且有分布 $\gamma 0,(t-s) \mathbf{I}$.
应该清楚的是 $B(t): t \geq 0$ 是布朗运动,当且仅当 (2.1.1) 成立时 $(B(t), \mathcal{F} t, \mathbb{P})$ 是上述意义上的布朗运动 $\mathcal{F}_t=\sigma(B(\tau): \in[0, t])$ ,这 $\sigma$ – 由路径生成的代数直到时间 $t$ 然而,有很多时候,自然而然的选择 $\mathcal{F}_t$ 的比这个选择大。例如,如果 $N \geq 2$ 和 $\left(B(t), \mathcal{F}_t, \mathbb{P}\right)$ 是一个 $\mathbb{R}^N$ 值布朗运动,然后,对于每个 $\mathbf{e} \in \mathbb{S}^{N-1},\left((\mathbf{e}, B(t)) \mathbb{R}^N, \mathcal{F} t, \mathbb{P}\right)$ 将是一个艮值布朗运动,即使
\eft 的分隔符缺失或无法识别
考虑布朗运动的另一种方法是根据高斯族。假设 $X(t): t \geq 0$ 是一个居中的高斯族, $\mathbb{R}^N$-值随机变量 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ,并假设跨度为
$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 是一个中心高斯族。如果 $\mathcal{F}_t$ 是个 $\mathbb{P}$ – 完成 $\sigma$ – 代数由 $X(\tau): \tau \in[0, t]$, 那么有一个布朗运动 $(B(t), \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 这样 $X(t)=B(t)$ (作为, $\mathbb{P})$ 对于每个 $t \geq 0$ 当且仅当 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[(\boldsymbol{\xi}, X(s)) \mathbb{R}^N(\boldsymbol{\eta}, X(t)) \mathbb{R}^N\right]=s \wedge t(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) \mathbb{R}^N$ 对所有人s, $t \in[0, \infty)$ 和 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \in \mathbb{R}^N$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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