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## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The Lebesgue–Stieltjes Integral

Let $G:[0, \infty) \mapsto \mathbb{R}$ be an r.c.l.l. function. For $0 \leq a<b<\infty$ the total variation $\operatorname{VAR}[a, b]$ of $G(s)$ over $[a, b]$ and $\operatorname{VAR}{(a, b]}$ over $(a, b]$ are defined as follows: $$\operatorname{VAR}{(a, b]}(G)=\sup \left{\sum_{j=1}^m\left|G\left(t_j\right)-G\left(t_{j-1}\right)\right|: a=t_0<t_1<\ldots<t_m=b, m \geq 1\right} .$$
$$\operatorname{VAR}{[a, b]}(G)=|G(a)|+\operatorname{VAR}{(a, b]}(G) .$$
If $\operatorname{VAR}_{[0, t]}(G)<\infty$ for all $t$, then $G$ will be called a function with finite variation. It is well known that a function has finite variation paths if and only if it can be expressed as difference of two increasing functions.

If $\operatorname{VAR}{[0, t]}(G)<\infty$ for all $t$, the function $|G|_t=\operatorname{VAR}{[0, t]}(G)$ is then an increasing $[0, \infty)$-valued function. Let us fix such a function $G$.

For any $T$ fixed, there exists a unique countably additive measure $\nu$ and a countably additive signed measure $\mu$ on the Borel $\sigma$-field of $[0, T]$ such that
$$\begin{gathered} \nu([0, t])=|G|(t) \quad \forall t \leq T \ \mu([0, t])=G(t) \quad \forall t \leq T . \end{gathered}$$
Here, $\nu$ is the total variation measure of the signed measure $\mu$.
For measurable function $h$ on $[0, T]$, if $\int h d \nu<\infty$, then we define
$$\int_0^t|h|s d|G|_s=\int|h| 1{[0, t]} d \nu$$
and
$$\int_0^t h_s d G_s=\int h 1_{[0, t]} d \mu .$$
Note that we have
$$\left|\int_0^t h_s d G_s\right| \leq \int_0^t|h|_s d|G|_s .$$

## 经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Quadratic Variation of Brownian Motion

Let $\left(W_t\right)$ denote a one-dimensional Brownian motion on aprobability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$. We have seen that $W$ is a martingale w.r.t. its natural filtration $\left(\mathcal{J}^W\right)$ and with $M_t=W_t^2-t, M$ is also $\left(\mathcal{F}^W\right)$-martingale. These properties are easy consequence of the independent increment property of Brownian motion.

Wiener and Ito’s realized the need to give a meaning to limit of what appeared to be Riemann-Stieltjes sums for the integral
$$\int_0^t f_s d W_s$$
in different contexts-while in case of Wiener, the integrand was a deterministic function, Ito’s needed to consider a random process $\left(f_s\right)$ that was a non-anticipating function of $W$-i.e. $f$ is adapted to $\left(\mathcal{F}^W\right)$.

It is well known that paths $s \mapsto W_s(\omega)$ are nowhere differentiable for almost all $\omega$, and hence we cannot interpret the integral in (3.1.1) as a path-by-path RiemannStieltjes integral. We will deduce the later from the following result that is relevant for stochastic integration.

# 随机微积分代考

## 经济代写|随机微积分代写随机微积分代考| Lebesgue-Stieltjes积分

$$\operatorname{VAR}{[a, b]}(G)=|G(a)|+\operatorname{VAR}{(a, b]}(G) .$$

For any $T$ 固定，存在一个唯一的可数相加测度 $\nu$ 还有一个可数加符号测度 $\mu$ 在波莱尔河上 $\sigma$-field of $[0, T]$ 这样
$$\begin{gathered} \nu([0, t])=|G|(t) \quad \forall t \leq T \ \mu([0, t])=G(t) \quad \forall t \leq T . \end{gathered}$$
$\nu$ 是有符号的测量的总变差测量吗 $\mu$.

$$\int_0^t|h|s d|G|_s=\int|h| 1{[0, t]} d \nu$$

$$\int_0^t h_s d G_s=\int h 1_{[0, t]} d \mu .$$

$$\left|\int_0^t h_s d G_s\right| \leq \int_0^t|h|_s d|G|_s .$$

## 经济代写|随机微积分代写随机微积分代考|布朗运动的二次变分

Wiener和Ito意识到需要给积分
$$\int_0^t f_s d W_s$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。