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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chains

Definition 2.10 Let $d$ (i) be the greatest common divisor of those $n \geq 1$ for which $p_{i i}^{(n)}>0$. Then $d(i)$ is called the period of the state $i$. If $d(i)=1$, then the state $i$ is called aperiodic.
Note $i \leftrightarrow j$, then $d(i)=d(j)$.
There exists $n_1$ and $n_2$ such that $p_{i j}^{\left(n_1\right)}>0$ and $p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$.
Now $p_{i i}^{\left(n_1+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ and hence $d(i)$ is a divisor of $n_1+n_2$.
If $p_{j j}^{(n)}>0$, then $p_{i i}^{\left(n_1+n+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ (by Chapman Kolmogorov equation).

Hence, $d(i)$ is a divisor of $n_1+n+n_2$. So $d(i)$ must be a divisor of $n$ if $p_{i i}^{(n)}>0$

Thus $d(i)$ is a divisor of $\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}$. Since $d(j)$ is the largest of such divisors, $d(i) \leq d(j)$. Hence, by symmetry $d(j) \leq d(i)$.
Hence $d(i)=d(j)$. Therefore having a period $d$ is a class property.
Note If $p_{i i}>0$, then $d(i)=1$ and this implies that a sufficient condition for an irreducible M.C. to be aperiodic is that $p_{i i}>0$ for some $i \in S$. Hence a queueing chain is aperiodic.
Theorem 2.7 Limit Theorem (for diagonal elements)
Let $j$ be any state in a M.C. As $n \rightarrow \infty$.
(i) if $j$ is transient, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) if $j$ is null recurrent, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) if $j$ is positive (recurrent) and
(a) aperiodic, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_j}$ (mean recurrence time of $j$ )

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stationary Distribution

Definition 2.10 A probability distribution is $\left{v_j\right}$ (i.e. $v_j \geq 0, \sum_j v_j=1$ ) is called a stationary distribution for a Markov chain with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$ if
$$\begin{array}{rlr} v_j & =\sum_i v_i p_{i j} \text { for all } j=1,2, \ldots \ & =\sum_i\left(\sum_k v_k p_{k i}\right) p_{i j} & \ & =\sum_k v_k \sum_i p_{k i} p_{i j} & \text { (by Fubini’s Theorem) } \ & =\sum_k v_k p_{k j}^{(2)} & \text { (by Chapman-Kolmogorov) } \ & \cdots=\sum_k v_k p_{k j}^{(n)} & \text { (by induction) } \end{array}$$

Suppose a stationary distribution $\pi=\left(\pi_1, \pi_2, \ldots\right)$ exists. Also suppose
$$\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=\pi_j \geq 0 \text { for all } i \geq 1$$
Then $\pi$ is called the steady state distribution of the M.C. with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$

If the initial distribution $\left{a_j^{(0)}\right}\left(a_j^{(0)}=P\left(X_0=j\right)\right)$ is stationary, we have the marginal distribution of $X_n$ given by $a_j^{(n)}$ (i.e. $\left.a_j^{(n)}=P\left(X_n=j\right)\right)=\sum_i a_j^{(0)} a_{i j}^{(n)}=a_j^{(0)}$ (using $(2.10)$ ).

Thus, the unconditional (or marginal) distribution of $X_n$ is independent of $n$ and we may therefore say that the system (or the process) is in statistical equilibrium. Suppose conversely, that the distribution of $X_n$ is independent of $n$. Then the initial distribution $a_0=\left(a_1^{(0)}, a_2^{(0)}, \ldots\right)$ i.e. $a_j^{(0)}=P\left(X_0=j\right)=P\left(X_1=j\right)$ $=\sum_i a_i^{(0)} p_{i j}=a_j^{(1)}=\ldots$ and consequently, $a_0$ is a stationary distribution. Therefore the distribution of $X_n$ is independent of $n$ iff the initial distribution is a stationary distribution. Suppose $(2.11)$ holds. Since $a_j^{(n)}=\sum_i a_i^{(0)} p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_j$, we see that the limiting distribution of $X_n$ is given by $\pi$.

In other words, we can say that if (2.11) holds and a stationary distribution $\pi$ as $n \rightarrow \infty$. Denote $\frac{1}{\mu_j}=\pi_j$.

# 随机过程代考

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chains

(i) 如果 $j$ 是瞬态的，那么 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) 如果 $j$ 是雩循环的，那么 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) 如果 $j$ 是正的 (经常性的) 和
（a）非周期性的，那么 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n-1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_j}$ (平均复发时间 $j$ )

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Stationary Distribution

$$\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)}=\pi_j \geq 0 \text { for all } i \geq 1$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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