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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Some ‘Brownian’ martingales

Brownian motion is a martingale with respect to its natural filtration, i. e. the family of $\sigma$-algebras $\mathcal{F}t^B:=\sigma\left(B_s: s \leqslant t\right)$. Recall that, by Lemma $2.10$, $$B_t-B_s \Perp \mathcal{F}_s^B \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t .$$ It is often necessary to enlarge the canonical filtration $\left(\mathcal{F}_t^B\right){t \geqslant 0}$ of a Brownian motion $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$. The property (5.1) is equivalent to the independent increments property (B1) of $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$, see Lemma $2.10$ and Problem 2.9, and it is this property which preserves the Brownian character of a filtration.
5.1 Definition. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $d$-dimensional Brownian motion. A filtration $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ is called admissible, if
a) $\mathcal{F}t^B \subset \mathcal{F}_t$ for all $t \geqslant 0$; b) $B_t-B_s \Perp \mathcal{F}_s$ for all $0 \leqslant s \leqslant t$. If $\mathcal{F}_0$ contains all subsets of $\mathbb{P}$ null sets, $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ is an admissible complete filtration.

The natural filtration $\left(\mathcal{F}t^B\right){t \geqslant 0}$ is always admissible. We will discuss further examples of admissible filtrations in Lemma $6.20$.
5.2 Example. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}, B_t=\left(B_t^1, \ldots, B_t^d\right)$, be a $d$-dimensional Brownian motion and $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ an admissible filtration.
a) $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ is a martingale with respect to $\mathcal{F}_t$. Indeed: Let $0 \leqslant s \leqslant t$. Using the conditions (5.1) a) and b) we get $$\mathbb{E}\left(B_t \mid \mathcal{F}_s\right)=\mathbb{E}\left(B_t-B_s \mid \mathcal{F}_s\right)+\mathbb{E}\left(B_s \mid \mathcal{F}_s\right)=\mathbb{E}\left(B_t-B_s\right)+B_s=B_s .$$ b) $M(t):=\left|B_t\right|^2$ is a positive submartingale with respect to $\mathcal{F}_t$. Indeed: for all $0 \leqslant s{j=1}^d \mathbb{E}\left(\left(B_t^j\right)^2 \mid \mathcal{F}s\right) \geqslant \sum{j=1}^d \mathbb{E}\left(B_t^j \mid \mathcal{F}s\right)^2=\sum{j=1}^d\left(B_s^j\right)^2=M_s $$## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stopping and sampling If we want to know when a Brownian motion \left(B_t\right)_{t \geqslant 0} • leaves or enters a set for the first time, • hits its running maximum, • returns to zero, we have to look at random times. A random time \tau: \Omega \rightarrow[0, \infty] is a stopping time (with respect to \left.\left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0}\right) if$$ {\tau \leqslant t} \in \mathcal{F}t \text { for all } t \geqslant 0 . $$Typical examples of stopping times are entry and hitting times of a process \left(X_t\right){t \geqslant 0} into a set A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right) : (first) entry time into A: \quad \tau_A^{\circ}:=\inf \left{t \geqslant 0: X_t \in A\right}, (first) hitting time of A: \quad \tau_A:=\inf \left{t>0: X_t \in A\right}, (inf \emptyset=\infty ); sometimes \tau_{A c} is called the (first) exit time from A. Note that \tau_A^{\circ} \leqslant \tau_A. If t \mapsto X_t and \left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0} are sufficiently regular, \tau_A^{\circ}, \tau_A are stopping times for every Borel set A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right). In this generality, the proof is very hard, cf. [13, Chapter I.10]. For our purposes it is enough to consider closed and open sets A. The natural filtration \mathcal{F}t^X:=\sigma\left(X_s: s \leqslant t\right) of a stochastic process \left(X_t\right){t \geqslant 0} is relatively small. For many interesting stopping times we have to consider the slightly larger filtration$$ \mathcal{F}{t+}^X:=\bigcap{u>t} \mathcal{F}u^X=\bigcap{n \geqslant 1} \mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}^X $$# 随机过程统计代考 ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Some ‘Brownian’ martingales 就其自然过滤而言，布朗运动是鞅，即 \sigma-代数 \mathcal{F} t^B:=\sigma\left(B_s: s \leqslant t\right). 回想一下，引理 2.10 ，$$ B_t-B_s \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F}_s^B \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t . $$通常需要扩大规范过滤 \left(\mathcal{F}_t^B\right) t \geqslant 0 布朗运动 \left(B_t\right) t \geqslant 0. 属性 (5.1) 等价于独立增量属性 (B1) \left(B_t\right) t \geqslant 0 ，见引理 2.10 和问题 2.9，正是这个性质保留了过滤的布 朗特性。 5.1 定义。让 \left(B_t\right) t \geqslant 0 做一个 d 维布朗运动。一次过滤 \left(\mathcal{F}_t\right) t \geqslant 0 被称为可接受的，如果 自然过滤 \left(\mathcal{F} t^B\right) t \geqslant 0 总是可以接受的。我们将在引理中讨论允许过滤的更多示例 6.20. 5.2 示例。让 \left(B_t\right) t \geqslant 0, B_t=\left(B_t^1, \ldots, B_t^d\right), 成为 d 维布朗运动和 \left(\mathcal{F}_t\right) t \geqslant 0 允许的过滤。 一个) \left(B_t\right) t \geqslant 0 是关于的鞅 \mathcal{F}_t. 确实: 让 0 \leqslant s \leqslant t. 使用条件 (5.1) a) 和 b) 我们得到$$ \mathbb{E}\left(B_t \mid \mathcal{F}_s\right)=\mathbb{E}\left(B_t-B_s \mid \mathcal{F}_s\right)+\mathbb{E}\left(B_s \mid \mathcal{F}_s\right)=\mathbb{E}\left(B_t-B_s\right)+B_s=B_s . $$b) M(t):=\left|B_t\right|^2 是关于的正下鞅 \mathcal{F}_t. 确实: 对所有人 0 \leqslant s j=1^d \mathbb{E}\left(\left(B_t^j\right)^2 \mid \mathcal{F} s\right) \geqslant \sum j=1^d \mathbb{E}\left(B_t^j \mid \mathcal{F} s\right)^2=\sum j=1^d\left(B_s^j\right)^2=M_s \$$ ## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stopping and sampling 如果我们想知道布朗运动何时$\left(B_t\right)_{t \geqslant 0}$• 第一次离开或进入一组， • 达到其运行最大值, • 返回零, 我们必须查看随机时间。一个随机的时间$\tau: \Omega \rightarrow[0, \infty]$是一个停止时间 (相对于$(\mathcal{F} t) t \geqslant 0)$如果$\tau \leqslant t \in \mathcal{F} t$for all$t \geqslant 0$. 停止时间的典型示例是进程的进入和命中时间$\left(X_t\right) t \geqslant 0$成一组$A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right):$（ 第一) 进入时间$\backslash$left 的分隔符缺失或无法识别 (第一) 击球时间$\backslash 1 \operatorname{left}$的分隔符缺失或无法识别$($inf$\emptyset=\infty)$; 有时$\tau_{A c}$被称为 (第一次) 退出时间$A$. 注意$\tau_A^{\circ} \leqslant \tau_A$. 如果$t \mapsto X_t$和$(\mathcal{F} t) t \geqslant 0$足够规则，$\tau_A^{\circ}, \tau_A$是每个 Borel 集的停止时间$A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$. 一般来 说，证明是非常困难的，参见。[13，第 I.10 章]。 为了我们的目的，考虑封闭集和开放集就足够了$A$. 自然过滤$\mathcal{F} t^X:=\sigma\left(X_s: s \leqslant t\right)$一个随机过程$\left(X_t\right) t \geqslant 0\$ 比较小。对于许多有趣的停止时间，我们必须考虑稍 大的过滤
$$\mathcal{F}{t+}{ }^X:=\bigcap u>t \mathcal{F} u^X=\bigcap n \geqslant 1 \mathcal{F}{t+\frac{1}{n}}^X$$

## 有限元方法代写

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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