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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Applications to One- and Two-Qubit Gates
We next analyze quantum computations by two qubits that undergo random dephasing. For single-qubit gates on each qubit, the average fidelity is obtained as
$$
\bar{f}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-\frac{5}{12}\left[J_{11}^{(1)}\left(t_{\mathrm{f}}\right)+J_{22}^{(1)}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right],
$$
where
$$
J_{j k}^{(q)}(t)=\int_0^t d t^{\prime} \int_0^{t^{\prime}} d t^{\prime \prime} \Phi_{j k}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) \epsilon_j^{(q)}\left(t^{\prime}\right) \epsilon_k^{(q) *}\left(t^{\prime \prime}\right),
$$
which implies
$$
\operatorname{Re} J_{j k}^{(q)}(t)=\pi \int_{-\infty}^{\infty} d \omega G_{j k}(\omega) \epsilon_{j, t}^{(q)}(\omega) \epsilon_{k, t}^{(q) *}(\omega) .
$$
Here, $J_{j k}^{(q)}(t)$ is the dephasing function modified by the fields with Rabi frequencies $\Omega_{j, k}^{(q)}\left(q=1,2_\psi, 2_{\Phi}\right), G_{j k}(\omega)=(2 \pi)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_{j k}(t) e^{i \omega t}$ is the dephasing spectrum, and $\epsilon_{j, t}^{(q)}(\omega)=(2 \pi)^{-1 / 2} \int_0^t d t^{\prime} \epsilon_j^{(q)}\left(t^{\prime}\right) e^{i \omega t^{\prime}}$ is the finite-time Fourier transform of the modulation.
Equations (13.15)-(13.17) show that the fidelity is maximized by reducing the spectral overlap of the dephasing and modulation (control) spectra. Single-qubit gate fields do not cause cross-dephasing. Since (13.15) depends only on singlequbit dephasing, $\Phi_{j j}(t)$, because of the averaging over all initial qubits. For each initial entangled state that “suffers” from cross-dephasing (e.g., triplet, $\left|\Phi_{-}\right\rangle$), there is another entangled state that “benefits” from cross-dephasing (e.g., the singlet,
$\left.\left|\Psi_{-}\right\rangle\right)$. Equation (13.15) also shows that if one applies a gate field on one qubit, one can still benefit from applying a control field on the other, stored, qubit.
For two-qubit gate operations, the average fidelity at $t_{\mathrm{f}}$ is found to be:
$$
\bar{f}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-\frac{5}{24} \sum_{j, k=1,2}\left[J_{j k}^{(2) \Phi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)+(-1)^{j+k} J_{j k}^{(2) \psi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right]
$$
In this expression, cross-dephasing corresponding to $j \neq k$ does not cancel out despite averaging. Yet, the cross-terms have opposite signs for the different twogate fields acting on the $\Psi$ and $\Phi$ Bell states. Thus, remarkably, the SWAP-gate fidelity may benefit from cross-dephasing.
It is noteworthy that by applying together both two-qubit gate fields, one can reduce dephasing, even if only one field is needed for the actual gate operation. For example, a two-qubit storage-gate field, with $\phi_{1,2}^{(2) \Phi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=2 \pi M(M=1,2, \ldots)$, concurrently applied with, for example, a SWAP gate, can reduce dephasing. This approach may result in longer gate durations, as the maximal peak power in the gate fields may be limited. Nevertheless, according to (13.15) and (13.18), this approach may be beneficial if the reduction in the dephasing due to the applied fields outweighs the increase in dephasing due to longer gate duration.
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Optimal Gate Protection
The protection of a given quantum operation from decoherence is most effective under bath-optimized task-oriented control (BOTOC), expounded in Chapter $12 .$ Here, we consider the implementation of a quantum-gate unitary operation within a given “gate time” $t$ for a pure input state $|\Psi\rangle$. In the interaction picture with respect to the desired gate operation, the projector $\hat{P}=\hat{\varrho}(0)=|\Psi\rangle\langle\Psi|$ is then used as the gradient operator, so that (12.22) is satisfied. Then, (12.24) yields the fidelity change as the score
$$
P=\langle\Psi|\Delta \hat{\varrho}| \Psi\rangle=-t^2\left\langle\left\langle\Psi\left|\hat{H}^2\right| \Psi\right\rangle-\langle\Psi|\hat{H}| \Psi\rangle^2\right\rangle_{\mathrm{B}} .
$$
To eliminate the dependence on $|\Psi\rangle$, we uniformly average over all $|\Psi\rangle$, whereby for any two operators $\hat{A}$ and $\hat{B}$ :
$$
\overline{\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle\langle\Psi|\hat{B}| \Psi\rangle}=\frac{\operatorname{Tr} \hat{A} \hat{B}+\operatorname{Tr} \hat{A} \operatorname{Tr} \hat{B}}{d(d+1)},
$$
$d$ being the Hilbert-space dimensionality of the system. The average score is then
$$
\bar{P}=-t^2 \frac{d}{d+1}\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}},
$$
where [in the notation of (12.6)] $\langle\ldots\rangle_{\text {id }}=\operatorname{Tr}\left(d^{-1} \hat{I} \otimes \hat{\varrho}B \ldots\right)$. Here we have used $\operatorname{Tr}{\mathrm{S}} \hat{H}=0$, corresponding to $\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$. On account of $(12.21),\langle\hat{H}\rangle{\mathrm{B}}=\left\langle\hat{H}{\mathrm{I}}\right\rangle{\mathrm{B}}=0$,
$\langle\hat{H}\rangle_{\text {id }}=0$, so that $(13.21)$ is proportional to the variance of the Hamiltonian: $\operatorname{Var}(\hat{H})=\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}}-\langle\hat{H}\rangle_{\mathrm{id}}^2$. The gate error $\mathcal{E}$, which is the average fidelity decline (or the infidelity), then satisfies
$$
\mathcal{E} \equiv-\bar{P}=t^2 \frac{d}{d+1} \operatorname{Var}(\hat{H}) .
$$
The average over the initial states in the matrix $\Xi$, defined in (12.31), yields $\bar{\Xi}=$ $-\frac{d}{d+1} \boldsymbol{I}$, upon using $\operatorname{Tr}\left(\hat{S}j \hat{S}_k\right)=d \delta{j k}$ and $\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$. Hence $$ \mathcal{E}=\frac{d}{d+1} \int{-\infty}^{\infty} d \omega \operatorname{Tr}\left[\boldsymbol{\epsilon}t(\omega) \boldsymbol{\epsilon}_t^{\dagger}(\omega) \boldsymbol{G}(\omega)\right] $$ where $\boldsymbol{G}(\omega)$ and $\epsilon_r(\omega)$ are given by (12.32) and (12.33), respectively. Because of the requirement that $\mathcal{E} \geq 0, \boldsymbol{G}(\omega)$ must be a positive semidefinite matrix for any $\omega$. BOTOC then aims at finding the evolution operator of the system, $\hat{U}(t)$ (as in the control examples in Sec. 12.2), that minimizes $\mathcal{E}$, subject to the condition that the desired gate is executed over time interval $t{\mathrm{f}}$.
We may therefore conclude that, whereas each gate operation should be as fast as possible, the optimal overall pulse sequence may take longer than the gate time because of the storage control duration. This general principle is unparalleled by other approaches.
热力学代写
物理代写|热力学代写热力学代考|一个和两个qubit Gates的应用
.
我们接下来通过两个进行随机失相的量子位分析量子计算。对于每个量子比特上的单量子比特门，平均保真度为
$$
\bar{f}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-\frac{5}{12}\left[J_{11}^{(1)}\left(t_{\mathrm{f}}\right)+J_{22}^{(1)}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right],
$$
其中
$$
J_{j k}^{(q)}(t)=\int_0^t d t^{\prime} \int_0^{t^{\prime}} d t^{\prime \prime} \Phi_{j k}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) \epsilon_j^{(q)}\left(t^{\prime}\right) \epsilon_k^{(q) *}\left(t^{\prime \prime}\right),
$$
，这意味着
$$
\operatorname{Re} J_{j k}^{(q)}(t)=\pi \int_{-\infty}^{\infty} d \omega G_{j k}(\omega) \epsilon_{j, t}^{(q)}(\omega) \epsilon_{k, t}^{(q) *}(\omega) .
$$
这里，$J_{j k}^{(q)}(t)$是由Rabi频率的场修改的失相函数$\Omega_{j, k}^{(q)}\left(q=1,2_\psi, 2_{\Phi}\right), G_{j k}(\omega)=(2 \pi)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_{j k}(t) e^{i \omega t}$是失相谱，$\epsilon_{j, t}^{(q)}(\omega)=(2 \pi)^{-1 / 2} \int_0^t d t^{\prime} \epsilon_j^{(q)}\left(t^{\prime}\right) e^{i \omega t^{\prime}}$是调制的有限时间傅里叶变换
公式(13.15)-(13.17)表明，通过减少失相光谱和调制(控制)光谱的重叠，保真度得到了最大化。单量子比特门场不会引起交叉失相。因为(13.15)只依赖于单量子位的失相，$\Phi_{j j}(t)$，因为对所有初始量子位的平均。对于每个“遭受”交叉失相的初始纠缠态(例如，三元态，$\left|\Phi_{-}\right\rangle$)，都有另一个“受益”于交叉失相的纠缠态(例如，单线态，)
$\left.\left|\Psi_{-}\right\rangle\right)$。式(13.15)还表明，如果一个人对一个量子位施加一个门场，他仍然可以从对另一个被存储的量子位施加一个控制场中获益。对于双量子比特门运算，$t_{\mathrm{f}}$处的平均保真度为:
$$
\bar{f}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-\frac{5}{24} \sum_{j, k=1,2}\left[J_{j k}^{(2) \Phi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)+(-1)^{j+k} J_{j k}^{(2) \psi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)\right]
$$
在这个表达式中，$j \neq k$对应的交叉失相并不抵消尽管平均。然而，对于作用于$\Psi$和$\Phi$贝尔状态的不同双门场，交叉项具有相反的符号。因此，值得注意的是，swap门保真度可能受益于交叉失相 值得注意的是，通过将两个量子位门场应用在一起，可以减少失相，即使实际的门操作只需要一个场。例如，两个量子位的存储门字段(带有$\phi_{1,2}^{(2) \Phi}\left(t_{\mathrm{f}}\right)=2 \pi M(M=1,2, \ldots)$)与SWAP门(例如)同时应用，可以减少失相。这种方法可能导致较长的门持续时间，因为门场的最大峰值功率可能是有限的。尽管如此，根据(13.15)和(13.18)，如果由于施加电场而减少的失相态超过了由于较长的栅极持续时间而增加的失相态，则这种方法可能是有益的。
物理代写|热力学代写热力学代考|最佳门保护
在浴优化的面向任务的控制(BOTOC)下，保护给定的量子操作免受退相干的影响是最有效的，在$12 .$章中阐述了这一点。这里，我们考虑在给定的“门时间”$t$内实现一个量子门酉操作，对于纯输入状态$|\Psi\rangle$。在期望门操作的交互图中，用投影仪$\hat{P}=\hat{\varrho}(0)=|\Psi\rangle\langle\Psi|$作为梯度算子，使(12.22)满足。然后，(12.24)在评分
$$
P=\langle\Psi|\Delta \hat{\varrho}| \Psi\rangle=-t^2\left\langle\left\langle\Psi\left|\hat{H}^2\right| \Psi\right\rangle-\langle\Psi|\hat{H}| \Psi\rangle^2\right\rangle_{\mathrm{B}} .
$$
时产生保真度变化，为了消除对$|\Psi\rangle$的依赖，我们对所有$|\Psi\rangle$进行统一平均，其中对于任意两个操作符$\hat{A}$和$\hat{B}$:
$$
\overline{\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle\langle\Psi|\hat{B}| \Psi\rangle}=\frac{\operatorname{Tr} \hat{A} \hat{B}+\operatorname{Tr} \hat{A} \operatorname{Tr} \hat{B}}{d(d+1)},
$$
$d$是系统的希尔伯特空间维数。那么平均分数是
$$
\bar{P}=-t^2 \frac{d}{d+1}\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}},
$$
其中[在(12.6)符号中]$\langle\ldots\rangle_{\text {id }}=\operatorname{Tr}\left(d^{-1} \hat{I} \otimes \hat{\varrho}B \ldots\right)$。这里我们使用了$\operatorname{Tr}{\mathrm{S}} \hat{H}=0$，对应于$\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$。On account of $(12.21),\langle\hat{H}\rangle{\mathrm{B}}=\left\langle\hat{H}{\mathrm{I}}\right\rangle{\mathrm{B}}=0$，
$\langle\hat{H}\rangle_{\text {id }}=0$，使$(13.21)$与哈密顿量的方差成正比:$\operatorname{Var}(\hat{H})=\left\langle\hat{H}^2\right\rangle_{\mathrm{id}}-\langle\hat{H}\rangle_{\mathrm{id}}^2$。门误差$\mathcal{E}$，即平均保真度下降(或不忠)，然后满足
$$
\mathcal{E} \equiv-\bar{P}=t^2 \frac{d}{d+1} \operatorname{Var}(\hat{H}) .
$$
。矩阵$\Xi$(在(12.31)中定义)中初始状态的平均值在使用$\operatorname{Tr}\left(\hat{S}j \hat{S}_k\right)=d \delta{j k}$和$\operatorname{Tr} \hat{S}j=0$时得到$\bar{\Xi}=$$-\frac{d}{d+1} \boldsymbol{I}$。因此，$$ \mathcal{E}=\frac{d}{d+1} \int{-\infty}^{\infty} d \omega \operatorname{Tr}\left[\boldsymbol{\epsilon}t(\omega) \boldsymbol{\epsilon}_t^{\dagger}(\omega) \boldsymbol{G}(\omega)\right] $$中$\boldsymbol{G}(\omega)$和$\epsilon_r(\omega)$分别由(12.32)和(12.33)给出。因为对于任何$\omega$, $\mathcal{E} \geq 0, \boldsymbol{G}(\omega)$必须是一个正半正定矩阵。BOTOC的目标是找到系统的进化算符$\hat{U}(t)$(如第12.2节的控制示例所示)，它使$\mathcal{E}$最小化，条件是期望的门在时间间隔$t{\mathrm{f}}$上执行。
因此，我们可以得出这样的结论，尽管每个门操作应该尽可能快，但由于存储控制持续时间的原因，最佳的整体脉冲序列可能比门时间更长。这一普遍原则是其他方法所无法比拟的
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
