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## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Driven-System Master Equation by the Nakajima-Zwanzig Method

We here analyze the general evolution of a perturbed or driven quantum system coupled to a thermal bath. The Liouville equation for $\rho_{\text {tot }}$, the joint density matrix of the system plus the bath, reads (setting here and henceforth $\hbar=1$ ):

$$\dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t)=-i\left[H(t), \rho{\mathrm{tot}}(t)\right] \equiv-i \mathcal{L}(t) \rho_{\mathrm{tot}}(t)$$
where
$$H(t)=H_{\mathrm{S}}(t)+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}}(t)$$
and
$$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}{\mathrm{S}}(t)+\mathcal{L}{\mathrm{B}}+\mathcal{L}{\mathrm{I}}(t) .$$ Here $H{\mathrm{S}}, H_{\mathrm{B}}$, and $H_{\mathrm{I}} \equiv H_{\mathrm{SB}}$ are the Hamiltonians of the system, bath, and their coupling, respectively. The action of each operator $H_i$ on the right-hand side of (11.2) is represented in (11.3) by the corresponding Liouville superoperator $\mathcal{L}i$ that acts linearly on operators in our Hilbert space. We restrict our treatment to the regime of weak system-bath coupling, so that $$\mathcal{L}_0(t)=\mathcal{L}{\mathrm{S}}(t)+\mathcal{L}_{\mathrm{B}}$$
describes, to lowest order, the evolution of the system and the bath, whereas $\mathcal{L}_1(t)$ acts as a perturbation.

The master equation (ME) for the reduced density matrix of the system $\rho \equiv$ $\operatorname{Tr}{\mathrm{B}} \rho{\text {tot }}$ should allow for arbitrary time dependence of $H(t)$, hence it must not invoke the RWA. We shall derive the ME for the system evolution by the NakajimaZwanzig projection-operator technique for a given bath state $\rho_{\mathrm{B}}$. The projection operator $\mathcal{P}(\cdot) \equiv \operatorname{Tr}{\mathrm{B}}(\cdot) \otimes \rho{\mathrm{B}}$ (that satisfies $\mathcal{P}^2=\mathcal{P}$ ) and the complementary projection operator $\mathcal{Q} \equiv 1-\mathcal{P}$ are invoked to rewrite (11.1) as:
\begin{aligned} \mathcal{P} \dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t) &=-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho{\mathrm{tot}}(t)-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\mathrm{tot}}(t) \ \mathcal{Q} \dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t) &=-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho{\mathrm{tot}}(t)-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\mathrm{tot}}(t) \end{aligned}

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Born Approximation

The ME (11.16) is perturbatively expanded in $\mathcal{L}{\mathrm{I}}$ upon noting from (11.11c) that $\left\langle\mathcal{L}{\mathrm{l}}(t) \mathcal{F}^{-1}(t)\right\rangle_{\mathrm{B}}=\left\langle\mathcal{L}{\mathrm{I}}(t)\left[1-\Sigma(t)+\mathcal{O}\left(\Sigma^2\right)\right]\right\rangle{\mathrm{B}}, \quad \Sigma(t)=\mathcal{O}\left(\mathcal{L}_{\mathrm{I}}\right)$

In order to expand this expression to second order in $\mathcal{L}{\mathrm{I}}$, consistently with the weak-coupling assumption, we evaluate $\mathcal{K}{+}$and $\mathcal{G}{-}$only to zeroth order in $\mathcal{L}_1$. In particular, we obtain from (11.7) $$\mathcal{K}{+}(t, \tau) \simeq \mathcal{V}0(t, \tau) \equiv \mathrm{T}{+} e^{-i \mathcal{Q} \int_\tau^t \mathcal{L}0(s) d s}$$ We shall employ the relation $$\mathcal{V}_0 \mathcal{Q}(t, \tau)=\mathcal{Q U}_0(t, \tau) \mathcal{Q}=\mathcal{Q U}_0(t, \tau)$$ where $$\mathcal{U}_0(t, \tau)=\mathrm{T}{+} e^{-i \int_\tau^t \mathcal{L}0(s) d s},$$ and we have made use of the commutation of $\mathcal{U}_0$ with $\mathcal{Q}$ in (11.19a). The retarded Green function (11.10) can be written, to zeroth order in $\mathcal{L}_1$, as $$\mathcal{G}{-}(t, \tau)=\left[1+\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right)\right] \mathrm{T}{-} e^{+i \int_\tau^r \mathcal{L}0(s) d s}=\mathcal{U}_0^{-1}(t, \tau)+\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right) .$$
We thus have, under the weak-coupling assumption,
$$\Sigma(t)=i \int_0^t \mathcal{V}_0(t, \tau) \mathcal{Q} \mathcal{L}_1(\tau) \mathcal{P} \mathcal{U}_0^{-1}(t, \tau) d \tau$$
Upon introducing (11.21) into (11.17) and using (11.16), we then obtain the following $\mathrm{ME}$ for $\rho(t)$,
where (11.19a) has been allowed for.

# 热力学代写

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Driven-System Master Equation by the Nakajima-Zwanzig Method

$$\dot{\rho} \operatorname{tot}(t)=-i[H(t), \rho \operatorname{tot}(t)] \equiv-i \mathcal{L}(t) \rho_{\text {tot }}(t)$$

$$H(t)=H_{\mathrm{S}}(t)+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}}(t)$$
$$\mathcal{L}(t)=\mathcal{L} \mathrm{S}(t)+\mathcal{L} \mathrm{B}+\mathcal{L} \mathrm{I}(t) .$$

$$\mathcal{L}0(t)=\mathcal{L S}(t)+\mathcal{L}{\mathrm{B}}$$

$$\mathcal{P} \dot{\rho} \operatorname{tot}(t)=-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho \operatorname{tot}(t)-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\text {tot }}(t) \mathcal{Q} \dot{\rho} \operatorname{tot}(t) \quad=-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho \operatorname{tot}(t)-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\text {tot }}(t)$$

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Born Approximation

ME (11.16) 在 $\mathcal{L I}$ 从 (11.11c) 注意到 $\left\langle\mathcal{L l}(t) \mathcal{F}^{-1}(t)\right\rangle_{\mathrm{B}}=\left\langle\mathcal{L I}(t)\left[1-\Sigma(t)+\mathcal{O}\left(\Sigma^2\right)\right]\right\rangle \mathrm{B}, \quad \Sigma(t)=\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right)$ 为了将此表达式扩展到二阶 $\mathcal{L I}$ ，与弱耦合假设一致，我们怦估 $\mathcal{K}+$ 和 $\mathcal{G}-$ 只到零阶 $\mathcal{L}_1$. 特别是，我们从 (11.7) 获得 $$\mathcal{K}+(t, \tau) \simeq \mathcal{V} 0(t, \tau) \equiv \mathrm{T}+e^{-i Q \int\tau^t \mathcal{L}(s) d s}$$

$$\mathcal{V}0 \mathcal{Q}(t, \tau)=\mathcal{Q U}_0(t, \tau) \mathcal{Q}=\mathcal{Q}_0(t, \tau)$$ 在哪里 $$\mathcal{U}_0(t, \tau)=\mathrm{T}+e^{-i \int\tau^t \mathcal{L}(s) d s},$$

$$\Sigma(t)=i \int_0^t \mathcal{V}_0(t, \tau) \mathcal{Q} \mathcal{L}_1(\tau) \mathcal{P U}_0^{-1}(t, \tau) d \tau$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。