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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化,以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MEC302

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Driven-System Master Equation by the Nakajima-Zwanzig Method

We here analyze the general evolution of a perturbed or driven quantum system coupled to a thermal bath. The Liouville equation for $\rho_{\text {tot }}$, the joint density matrix of the system plus the bath, reads (setting here and henceforth $\hbar=1$ ):

$$
\dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t)=-i\left[H(t), \rho{\mathrm{tot}}(t)\right] \equiv-i \mathcal{L}(t) \rho_{\mathrm{tot}}(t)
$$
where
$$
H(t)=H_{\mathrm{S}}(t)+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}}(t)
$$
and
$$
\mathcal{L}(t)=\mathcal{L}{\mathrm{S}}(t)+\mathcal{L}{\mathrm{B}}+\mathcal{L}{\mathrm{I}}(t) . $$ Here $H{\mathrm{S}}, H_{\mathrm{B}}$, and $H_{\mathrm{I}} \equiv H_{\mathrm{SB}}$ are the Hamiltonians of the system, bath, and their coupling, respectively. The action of each operator $H_i$ on the right-hand side of (11.2) is represented in (11.3) by the corresponding Liouville superoperator $\mathcal{L}i$ that acts linearly on operators in our Hilbert space. We restrict our treatment to the regime of weak system-bath coupling, so that $$ \mathcal{L}_0(t)=\mathcal{L}{\mathrm{S}}(t)+\mathcal{L}_{\mathrm{B}}
$$
describes, to lowest order, the evolution of the system and the bath, whereas $\mathcal{L}_1(t)$ acts as a perturbation.

The master equation (ME) for the reduced density matrix of the system $\rho \equiv$ $\operatorname{Tr}{\mathrm{B}} \rho{\text {tot }}$ should allow for arbitrary time dependence of $H(t)$, hence it must not invoke the RWA. We shall derive the ME for the system evolution by the NakajimaZwanzig projection-operator technique for a given bath state $\rho_{\mathrm{B}}$. The projection operator $\mathcal{P}(\cdot) \equiv \operatorname{Tr}{\mathrm{B}}(\cdot) \otimes \rho{\mathrm{B}}$ (that satisfies $\mathcal{P}^2=\mathcal{P}$ ) and the complementary projection operator $\mathcal{Q} \equiv 1-\mathcal{P}$ are invoked to rewrite (11.1) as:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{P} \dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t) &=-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho{\mathrm{tot}}(t)-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\mathrm{tot}}(t) \
\mathcal{Q} \dot{\rho}{\mathrm{tot}}(t) &=-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho{\mathrm{tot}}(t)-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\mathrm{tot}}(t)
\end{aligned}
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Born Approximation

The ME (11.16) is perturbatively expanded in $\mathcal{L}{\mathrm{I}}$ upon noting from (11.11c) that $\left\langle\mathcal{L}{\mathrm{l}}(t) \mathcal{F}^{-1}(t)\right\rangle_{\mathrm{B}}=\left\langle\mathcal{L}{\mathrm{I}}(t)\left[1-\Sigma(t)+\mathcal{O}\left(\Sigma^2\right)\right]\right\rangle{\mathrm{B}}, \quad \Sigma(t)=\mathcal{O}\left(\mathcal{L}_{\mathrm{I}}\right)$

In order to expand this expression to second order in $\mathcal{L}{\mathrm{I}}$, consistently with the weak-coupling assumption, we evaluate $\mathcal{K}{+}$and $\mathcal{G}{-}$only to zeroth order in $\mathcal{L}_1$. In particular, we obtain from (11.7) $$ \mathcal{K}{+}(t, \tau) \simeq \mathcal{V}0(t, \tau) \equiv \mathrm{T}{+} e^{-i \mathcal{Q} \int_\tau^t \mathcal{L}0(s) d s} $$ We shall employ the relation $$ \mathcal{V}_0 \mathcal{Q}(t, \tau)=\mathcal{Q U}_0(t, \tau) \mathcal{Q}=\mathcal{Q U}_0(t, \tau) $$ where $$ \mathcal{U}_0(t, \tau)=\mathrm{T}{+} e^{-i \int_\tau^t \mathcal{L}0(s) d s}, $$ and we have made use of the commutation of $\mathcal{U}_0$ with $\mathcal{Q}$ in (11.19a). The retarded Green function (11.10) can be written, to zeroth order in $\mathcal{L}_1$, as $$ \mathcal{G}{-}(t, \tau)=\left[1+\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right)\right] \mathrm{T}{-} e^{+i \int_\tau^r \mathcal{L}0(s) d s}=\mathcal{U}_0^{-1}(t, \tau)+\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right) .
$$
We thus have, under the weak-coupling assumption,
$$
\Sigma(t)=i \int_0^t \mathcal{V}_0(t, \tau) \mathcal{Q} \mathcal{L}_1(\tau) \mathcal{P} \mathcal{U}_0^{-1}(t, \tau) d \tau
$$
Upon introducing (11.21) into (11.17) and using (11.16), we then obtain the following $\mathrm{ME}$ for $\rho(t)$,
where (11.19a) has been allowed for.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MEC302

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Driven-System Master Equation by the Nakajima-Zwanzig Method

$$
\dot{\rho} \operatorname{tot}(t)=-i[H(t), \rho \operatorname{tot}(t)] \equiv-i \mathcal{L}(t) \rho_{\text {tot }}(t)
$$
在哪里
$$
H(t)=H_{\mathrm{S}}(t)+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}}(t)
$$
$$
\mathcal{L}(t)=\mathcal{L} \mathrm{S}(t)+\mathcal{L} \mathrm{B}+\mathcal{L} \mathrm{I}(t) .
$$
这里 $H \mathrm{~S}, H_{\mathrm{B}}$ , 和 $H_{\mathrm{I}} \equiv H_{\mathrm{SB}}$ 分别是系统、浴和它们的耦合的哈密顿量。每个操作员的动作 $H_i$ 在 (11.2) 的右侧,在 (11.3) 中由相应的 Liouville 超级 算子表示 $\mathcal{L} i$ 线性作用于希尔伯特空间中的算子。我们将我们的处理限制在弱系统-浴耦合的情况下,因此
$$
\mathcal{L}0(t)=\mathcal{L S}(t)+\mathcal{L}{\mathrm{B}}
$$
以最低的顺序描述系统和浴的演变,而 $\mathcal{L}1(t)$ 充当扰动。 系统降低密度矩阵的主方程 (ME) $\rho \equiv \operatorname{Tr} \mathrm{B} \rho$ tot 应该允许任意时间依赖性 $H(t)$ ,因此它不能调用 RWA。对于给定的浴态,我们将通过 NakajimaZwanzig 投影算子技术推导出系统演化的 $\mathrm{ME} \rho{\mathrm{B}}$. 投影算子 $\mathcal{P}(\cdot) \equiv \operatorname{Tr} \mathrm{B}(\cdot) \otimes \rho \mathrm{B}\left(\right.$ (满足 $\left.\mathcal{P}^2=\mathcal{P}\right)$ 和互补投影算子 $\mathcal{Q} \equiv 1-\mathcal{P}$ 被调用将 (11.1) 重写为:
$$
\mathcal{P} \dot{\rho} \operatorname{tot}(t)=-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho \operatorname{tot}(t)-i \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\text {tot }}(t) \mathcal{Q} \dot{\rho} \operatorname{tot}(t) \quad=-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{P} \rho \operatorname{tot}(t)-i \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{Q} \rho_{\text {tot }}(t)
$$

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Born Approximation

ME (11.16) 在 $\mathcal{L I}$ 从 (11.11c) 注意到 $\left\langle\mathcal{L l}(t) \mathcal{F}^{-1}(t)\right\rangle_{\mathrm{B}}=\left\langle\mathcal{L I}(t)\left[1-\Sigma(t)+\mathcal{O}\left(\Sigma^2\right)\right]\right\rangle \mathrm{B}, \quad \Sigma(t)=\mathcal{O}\left(\mathcal{L}{\mathrm{I}}\right)$ 为了将此表达式扩展到二阶 $\mathcal{L I}$ ,与弱耦合假设一致,我们怦估 $\mathcal{K}+$ 和 $\mathcal{G}-$ 只到零阶 $\mathcal{L}_1$. 特别是,我们从 (11.7) 获得 $$ \mathcal{K}+(t, \tau) \simeq \mathcal{V} 0(t, \tau) \equiv \mathrm{T}+e^{-i Q \int\tau^t \mathcal{L}(s) d s}
$$
我们将使用关系
$$
\mathcal{V}0 \mathcal{Q}(t, \tau)=\mathcal{Q U}_0(t, \tau) \mathcal{Q}=\mathcal{Q}_0(t, \tau) $$ 在哪里 $$ \mathcal{U}_0(t, \tau)=\mathrm{T}+e^{-i \int\tau^t \mathcal{L}(s) d s},
$$
我们利用了换向 $\mathcal{U}0$ 和 $\mathcal{Q}$ 在 (11.19a) 中。延迟格林函数 (11.10) 可以写成零阶 $\mathcal{L}_1$ ,作为 $$ \mathcal{G}-(t, \tau)=[1+\mathcal{O}(\mathcal{L I})] \mathrm{T}-e^{+i \int\tau^r \mathcal{L}(s) d s}=\mathcal{U}_0^{-1}(t, \tau)+\mathcal{O}(\mathcal{L I}) .
$$
因此,在弱耦合假设下,我们有,
$$
\Sigma(t)=i \int_0^t \mathcal{V}_0(t, \tau) \mathcal{Q} \mathcal{L}_1(\tau) \mathcal{P U}_0^{-1}(t, \tau) d \tau
$$
在将 (11.21) 引入 (11.17) 并使用 (11.16) 后,我们得到以下ME为了 $\rho(t)$ ,
其中 (11.19a) 已被允许。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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