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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化,以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MECH3024

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Photon-Bound State and Incomplete Decay

In the following analysis of ( $5.12 \mathrm{~b})$, we aim at revealing the peculiar behavior of the atomic excitation decay $\alpha(t)$ and the corresponding emission and I.amb-shift spectra on account of $G(\omega)$ singular features. To this end, we consider a fieldconfining structure [e.g., a waveguide, a cavity or a photonic crystal (PC), as per Ch. 3] wherein $G(\omega)$ has one or several photonic band gaps (PBGs), separated by allowed photonic bands. Let us label each PBG by index $n$ and its lower and upper cutoff frequencies by $\omega_{\mathrm{L} n}$ and $\omega_{\mathrm{U} n}$, respectively:
$$
G(\omega)=0 \text { for } \omega_{\mathrm{L} n}<\omega<\omega_{\mathrm{U} n} .
$$
From Fermi’s Golden Rule, we may expect an excited atom not to decay, if $\omega_{\mathrm{a}}$ is within a PBG, or decay completely at $t \rightarrow \infty$ if $\omega_{\mathrm{a}}$ is anywhere in an allowed band. Yet, neither conclusion is necessarily true, since the Golden Rule may break down in such scenarins.

In fact, incomplete decay up to long times occurs if $\hat{\alpha}(s)$ in (5.12b) has a purely imaginary pole, $s=-i \omega_n, \hbar \omega_n$ signifying a stable (real) energy level of the total (atom+bath) Hamiltonian. Such a pole requires that $G\left(\omega_n\right)=0$ (i.e., $\omega_n$ is within a PBG). A real level $\hbar \omega_n$ corresponding to such a pole has to satisfy
$$
\omega_n=\omega_{\mathrm{a}}+\Delta\left(\omega_n\right) .
$$
Here
$$
\Delta\left(\omega_n\right)=\int_0^{\omega_{\mathrm{L} n}} d \omega \frac{G(\omega)}{\omega_n-\omega}+\int_{\omega \mathrm{U} n}^{\infty} d \omega \frac{G(\omega)}{\omega_n-\omega},
$$
$\hbar \Delta\left(\omega_n\right)$ being the bath-induced Lamb (energy) shift of the atomic resonance $\hbar \omega_{\mathrm{a}}$ (often it has been renormalized to account for the open-space Lamb shift). The two bath-induced Lamb-shift terms in (5.19) arise from the parts of $G(\omega)$ extending, respectively, below and above the $n$th PBG (Fig. 5.2). Whenever (5.18) holds, the corresponding term in $\alpha(t)$ [see $(5.11)$ ] oscillates as $\exp \left(-i \omega_n t\right)$, without decay. This feature signifies a stable, dressed, field-atom state formed by the binding of the photon to the atom or its confinement to the vicinity of the atom. Such confinement is caused by the nearly complete Bragg reflection of the emitted photon at frequencies within the PBG.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Complete Decay: Irreversible (Weisskopf–Wigner) Solutions

As follows from (5.20), incomplete excited-state decay cannot occur for $\omega_{\mathrm{a}}$ well within an allowed band, far from a PBG. We then anticipate that long-time decay should obey, to a good approximation, the (open-space) Weisskopf-Wigner exponential decay law. In this section we discuss higher-order corrections to the standard Weisskopf-Wigner solution and obtain the conditions for its applicability. The inverse Laplace transform of $\hat{\alpha}(s)$ is known to involve contributions from the poles of $\hat{\alpha}(s)$ in (5.12b). The Weisskopf-Wigner approximation applies when the contribution of one of the poles (call it $s_p$ ) is dominant in $\alpha(t)$. Assuming that the self-energy term $\mathcal{G}(s)$ is sufficiently small in the equation $s+i \omega_{\mathrm{a}}+\mathcal{G}(s)=0$ for the poles, $s_p$ can be found perturbatively. Namely, we successively iterate the pole, with $s_p^{(0)}=-i \omega_{\mathrm{a}}$ as the lowest approximation. The first-order iteration yields
$$
s_p \approx s_p^{(1)}=-i\left(\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}\right)-\gamma_{\mathrm{a}},
$$
where we have abbreviated $\gamma_{\mathrm{a}}=\gamma\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$, and $\Delta_{\mathrm{a}}=\Delta\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ [see Eqs. (5.29)].

If $\alpha(t)$ can be approximated by the contribution of a single pole $s_p$ (known as the pole approximation), then the inverse Laplace transform of the first Eq. (5.12b) to first-order approximation for the pole yields an exponentially decaying amplitude
$$
\alpha(t) \approx \exp \left[-\left(\gamma_{\mathrm{a}}+i \tilde{\omega}{\mathrm{a}}\right) t\right], $$ where $\tilde{\omega}{\mathrm{a}}=\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}$.
Further iterations yield higher-order corrections to the pole. An analysis shows that these corrections can be neglected and hence this regime holds if the function $G(\omega)$ is smooth near $\omega_{\mathrm{a}}$ or, quantitatively, under the conditions
(a) $\left|\gamma_{\mathrm{a}}^{\prime}\right|,\left|\Delta_{\mathrm{a}}^{\prime}\right| \ll 1$;
(b) $\left|\Delta_{\mathrm{a}} \gamma_{\mathrm{a}}^{\prime}\right| \ll \gamma_{\mathrm{a}}$;
(c) $\gamma_{\mathrm{a}},\left|\Delta_{\mathrm{a}}\right| \ll\left|\omega_{\mathrm{a}}-\omega_{\mathrm{g}}\right|$.
(5.39)

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|MECH3024

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|The Photon-Bound State and Incomplete Decay

在下面的分析中 (5.12 b),我们旨在揭示原子激发衰变的特殊行为 $\alpha(t)$ 以及相应的发射和 l.amb-shift 光谱 $G(\omega)$ 奇异的特征。为此,我们考虑了场 限制结构[例如,波导、腔或光子晶体 (PC),根据 Ch. 3] 其中 $G(\omega)$ 具有一个或多个光子带隙 (PBG),由允许的光子带隔开。让我们按索引标记每个 PBG $n$ 其下限和上限截止频率为 $\omega_{\mathrm{L} n}$ 和 $\omega_{\mathrm{U} n}$ ,分别:
$$
G(\omega)=0 \text { for } \omega_{\mathrm{L} n}<\omega<\omega_{\mathrm{U} n} .
$$
根据费米的黄金法则,我们可以预期一个受激原子不会衰变,如果 $\omega_{\mathrm{a}}$ 在 $\mathrm{PBG}$ 内,或完全衰减 $t \rightarrow \infty$ 如果 $\omega_{\mathrm{a}}$ 在允许的范围内的任何地方。然而,这 两个结论都不一定正确,因为黄金法则可能会在这样的场景中失效。
事实上,如果发生长时间不完全衰减 $\hat{\alpha}(s)$ 在 (5.12b) 中有一个纯虚极点, $s=-i \omega_n, \hbar \omega_n$ 表示总 (原子+浴) 哈密顿量的稳定(实际) 能级。这样的 极点要求 $G\left(\omega_n\right)=0\left(\mathrm{IE} , \omega_n\right.$ 在 PBG 内)。真实水平 $\hbar \omega_n$ 对应于这样一个极点必须满足
$$
\omega_n=\omega_{\mathrm{a}}+\Delta\left(\omega_n\right) .
$$
这里
$$
\Delta\left(\omega_n\right)=\int_0^{\omega \mathrm{I} n} d \omega \frac{G(\omega)}{\omega_n-\omega}+\int_{\omega \mathrm{U} n}^{\infty} d \omega \frac{G(\omega)}{\omega_n-\omega},
$$
$\hbar \Delta\left(\omega_n\right)$ 是原子共振的浴引起的兰姆 (能量) 位移 $\hbar \omega_{\mathrm{a}}$ (通常它已被重新归一化以考虑开放空间的兰姆位移)。(5.19) 中的两个浴诱导兰姆位移项 来自 $G(\omega)$ 分别延伸到下方和上方 $n$ PBG (图 5.2) 。每当 (5.18) 成立时,对应的项 $\alpha(t)$ [看 $(5.11)$ ] 振荡为 $\exp \left(-i \omega_n t\right)$ ,没有衰变。该特征表示由光 子与原子结合或将其限制在原子附近形成的稳定的、修饰的、场原子状态。这种限制是由在 PBG 内的频率处发射的光子的几乎完全布拉格反射引起 的。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Complete Decay: Irreversible (Weisskopf–Wigner) Solutions

由 (5.20) 得出,不完全激发态衰变不会发生 $\omega_{\mathrm{a}}$ 完全在允许的范围内,远离 $\mathrm{PBG}$ 。然后,我们预计长期衰减应该遵循 (开放空间) Weisskopf-Wigner 指数衰减定律。在本节中,我们讨论对标准 Weisskopf-Wigner 解的高阶修正,并获得其适用条件。的拉普拉斯逆变换 $\hat{\alpha}(s)$ 已知涉及来自两极的贡献 $\hat{\alpha}(s)$ 在 (5.12b) 中。Weisskopf-Wigner 近似适用于其中一个极点的贡献 (称为 $s_p$ ) 占主导地位 $\alpha(t)$. 假设自能项 $\mathcal{G}(s)$ 在方程中足够小 $s+i \omega_{\mathrm{a}}+\mathcal{G}(s)=0$ 对于两极, $s_p$ 可以被扰动地找到。即,我们连续迭代极点, $s_p^{(0)}=-i \omega_{\mathrm{a}}$ 作为最低的近似值。一阶迭代产生
$$
s_p \approx s_p^{(1)}=-i\left(\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}\right)-\gamma_{\mathrm{a}},
$$
我们缩写的地方 $\gamma_{\mathrm{a}}=\gamma\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ ,和 $\Delta_{\mathrm{a}}=\Delta\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ [见方程式。(5.29)]。
如果 $\alpha(t)$ 可以通过单极点的贡献来近似 $s_p$ (称为极点近似),然后是第一个方程的拉普拉斯逆变换。(5.12b) 对极点的一阶近似产生指数衰减的幅 度
$$
\alpha(t) \approx \exp \left[-\left(\gamma_{\mathrm{a}}+i \tilde{\omega} \mathrm{a}\right) t\right],
$$
在哪里 $\tilde{\omega} \mathrm{a}=\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}$.
进一步的迭代产生对极点的高阶校正。分析表明,这些修正可以忽略不计,因此如果函数 $G(\omega)$ 附近是光滑的 $\omega_{\mathrm{a}}$ 或者,定量地,在条件
(a) $下\left|\gamma_{\mathrm{a}}^{\prime}\right|,\left|\Delta_{\mathrm{a}}^{\prime}\right| \ll 1$
(二) $\left|\Delta_{\mathrm{a}} \gamma_{\mathrm{a}}^{\prime}\right| \ll \gamma_{\mathrm{a}}$;
(C) $\gamma_{\mathrm{a}},\left|\Delta_{\mathrm{a}}\right| \ll\left|\omega_{\mathrm{a}}-\omega_{\mathrm{g}}\right|$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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