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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化,以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Complete Decay: Irreversible (Weisskopf–Wigner) Solutions
As follows from (5.20), incomplete excited-state decay cannot occur for $\omega_{\mathrm{a}}$ well within an allowed band, far from a PBG. We then anticipate that long-time decay should obey, to a good approximation, the (open-space) Weisskopf-Wigner exponential decay law. In this section we discuss higher-order corrections to the standard Weisskopf-Wigner solution and obtain the conditions for its applicability.
The inverse Laplace transform of $\hat{\alpha}(s)$ is known to involve contributions from the poles of $\hat{\alpha}(s)$ in (5.12b). The Weisskopf-Wigner approximation applies when the contribution of one of the poles (call it $s_{p}$ ) is dominant in $\alpha(t)$. Assuming that the self-energy term $\mathcal{G}(s)$ is sufficiently small in the equation $s+i \omega_{\mathrm{a}}+\mathcal{G}(s)=0$ for the poles, $s_{p}$ can be found perturbatively. Namely, we successively iterate the pole, with $s_{p}^{(0)}=-i \omega_{\mathrm{a}}$ as the lowest approximation. The first-order iteration yields
$$
s_{p} \approx s_{p}^{(1)}=-i\left(\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}\right)-\gamma_{\mathrm{a}},
$$
where we have abbreviated $\gamma_{\mathrm{a}}=\gamma\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$, and $\Delta_{\mathrm{a}}=\Delta\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ [sec Eqs. (5.29)].
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Partial and Complete Decay near Cutoff
As per (3.23), the bath spectral response near the upper PBG cutoff $\omega_{U}$ can be modeled by
$$
G(\omega)=\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2}}{\pi} \frac{\sqrt{\omega-\omega_{\mathrm{U}}}}{\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}} \theta\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}\right),
$$
where $\epsilon_{\mathrm{c}}$ is the “cutoff-smoothing” parameter and $\gamma_{\mathrm{c}}$ characterizes the atom-bath coupling strength at cutoff. Depending on whether $\epsilon_{\mathrm{d}} \ll \gamma_{\mathrm{c}}$ or $\epsilon_{\mathrm{d}} \gg \gamma_{\mathrm{c}}$, the bath is close to the isotropic case $\epsilon_{\mathrm{c}}=0(D=2)$ or the anisotropic case $\epsilon_{\mathrm{c}} \rightarrow \infty$ $(D=0)$, respectively.
Upon inserting (5.44) into (5.29), we obtain the bath-induced skewed-Lorentzian linewidth
$$
\gamma(\omega)=\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2} \sqrt{\omega-\omega_{\mathrm{U}}}}{\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}} \theta\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}\right),
$$
$\theta()$ being the Heaviside step function and the corresponding spectral shift
$$
\Delta(\omega)=-\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2} \begin{cases}\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}} /\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}\right), & \omega>\omega_{\mathrm{U}}, \ \left(\sqrt{\omega_{\mathrm{U}}-\omega}+\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}}\right)^{-1}, & \omega<\omega_{\mathrm{U}}\end{cases}
$$
It thus follows that the spectrum (5.30) can be strongly non-Lorentzian. The model (5.44) yields an exact analytical expression for the time dependence of spontaneous decay, from which we can infer the criteria for the two regimes of Sections 5.2.2 and 5.2.3:
(i) Incomplete decay [cf. (5.20)] is now obtained for (Fig. 5.3)
$$
\omega_{\mathrm{a}}<\omega_{\mathrm{U}}+\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2}}{\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}}} .
$$

热力学代写
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Complete Decay: Irreversible (Weisskopf–Wigner) Solutions
由 (5.20) 得出,不完全激发态衰变不会发生 $\omega_{\mathrm{a}}$ 完全在允许的范围内,远离 PBG。然后,我们预计长期衰减应该遵循 (开放空间) Weisskopf-Wigner 指数衰减定 律。在本节中,我们讨论对标准 Weisskopf-Wigner 解的高阶修正,并获得其适用条件。
的拉普拉斯逆变换 $\hat{\alpha}(s)$ 已知涉及来自两极的贡献 $\hat{\alpha}(s)$ 在 (5.12b) 中。Weisskopf-Wigner 近似适用于其中一个极点的贡献 (称为 $s_{p}$ ) 占主导地位 $\alpha(t)$. 假设自能项 $\mathcal{G}(s)$ 在方程中足够小 $s+i \omega_{\mathrm{a}}+\mathcal{G}(s)=0$ 对于两极, $s_{p}$ 可以被扰动地找到。即,我们连续迭代极点, $s_{p}^{(0)}=-i \omega_{\mathrm{a}}$ 作为最低的近似值。一阶迭代产生
$$
s_{p} \approx s_{p}^{(1)}=-i\left(\omega_{\mathrm{a}}+\Delta_{\mathrm{a}}\right)-\gamma_{\mathrm{a}}
$$
我们缩写的地方 $\gamma_{\mathrm{a}}=\gamma\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ ,和 $\Delta_{\mathrm{a}}=\Delta\left(\omega_{\mathrm{a}}\right)$ [秒等式。(5.29)]。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Partial and Complete Decay near Cutoff
根据 (3.23),上 PBG 截止附近的浴光谱响应 $\omega_{U}$ 可以建模为
$$
G(\omega)=\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2}}{\pi} \frac{\sqrt{\omega-\omega_{\mathrm{U}}}}{\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}} \theta\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}\right)
$$
在哪里 $\epsilon_{\mathrm{c}}$ 是“截止平滑“参数和 $\gamma_{\mathrm{c}}$ 表征截止时的原子浴䊪合强度。取决于是否 $\epsilon_{\mathrm{d}} \ll \gamma_{\mathrm{c}}$ 或者 $\epsilon_{\mathrm{d}} \gg \gamma_{\mathrm{c}}$ ,浴接近各向同性情况 $\epsilon_{\mathrm{c}}=0(D=2)$ 或各向异性情况 $\epsilon_{\mathrm{c}} \rightarrow \infty$ $(D=0)$ ,分别。
将 (5.44) 揷入 (5.29) 后,我们得到浴引起的倾斜洛伦兹线宽
$$
\gamma(\omega)=\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2} \sqrt{\omega-\omega_{\mathrm{U}}}}{\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}} \theta\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}\right)
$$
$\theta()$ 是 Heaviside 阶跃函数和相应的谱移
$$
\Delta(\omega)=-\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2}\left{\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}} /\left(\omega-\omega_{\mathrm{U}}+\epsilon_{\mathrm{c}}\right), \quad \omega>\omega_{\mathrm{U}},\left(\sqrt{\omega_{\mathrm{U}}-\omega}+\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}}\right)^{-1}, \quad \omega<\omega_{\mathrm{U}}\right.
$$
因此,谱 (5.30) 可以是强非洛伦兹的。模型 (5.44) 给出了自发衰变的时间依赖性的精确解析表达式,从中我们可以推断出 $5.2 .2$ 和 $5.2 .3$ 节的两种状态的标准:
(i) 不完全衰变 [cf. (5.20)] 现在得到 (图 5.3)
$$
\omega_{\mathrm{a}}<\omega_{\mathrm{U}}+\frac{\gamma_{\mathrm{c}}^{3 / 2}}{\sqrt{\epsilon_{\mathrm{c}}}}
$$

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