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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Selected Solutions 4
4.2) The Cantor set.
4.3) (a) No. For instance, take $\Omega_{1}$ to be indiscrete and take $\Omega_{2}$ to be discrete.
(b) Yes. Assume that $\left(X, \Omega_{1}\right)$ is disconnected. Then $\left(X, \Omega_{1}\right)$ has a nonempty proper clopen subset, say, $A$. Since
$$
\Omega_{1} \subseteq \Omega_{2},
$$
the set $A$ is clopen in $\Omega_{2}$. Hence $\left(X, \Omega_{2}\right)$ is disconnected.
4.4) (a) Any subset. Assume that $A \subseteq[0, \infty)$ is disconnected. By Theorem $4.4$, there exists a continuous surjection
$$
f: A \rightarrow S^{0} \text {. }
$$
Note that any open set in $A$ consists of the elements of $A$ that are larger than some number $M$, and that any closed set in $A$ consists of the elements of $A$ that are smaller than or equal to some number $m$. Therefore, the clopen set $f^{-1}(1)$ in $A$ has to be either the empty set or the whole set $A$, contradicting that $f$ is surjective.
(b) Any infinite subset. On one hand, any non-singleton finite set $A$ is the union of two nonempty finite subsets. Note that a subset is finite if and only if it is closed. By Theorem 4.4, we infer that $A$ is disconnected. On the other hand, assume to the contrary that an infinite set $A$ is disconnected. By Theorem $4.4$, there exists a continuous surjection
$$
f: A \rightarrow S^{0} \text {. }
$$
Then each of the preimages $f^{-1}(\pm 1)$ is closed in $A$. Hence the set
$$
A-f^{-1}(-1) \cup f^{-1}(1)
$$
is finite, a contradiction.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Separation and Countability Axioms
In this chapter, we consider natural restrictions on the topology of a space that measures how far away the space is from a metrizable space. The restrictions are called Separation Axioms. As will be seen, metric spaces satisfy all of the separation axioms. Topologists assigned the classes of spaces satisfying different axioms the names $T_{1}, T_{2}, T_{3}$, and $T_{4}$ spaces, respectively. Later this system of numbering was extended to include $T_{0}, T_{e}, T_{\pi}, T_{5}$, and $T_{6}$. The idea was supposed to be that every $T_{i}$ space is a special kind of $T_{j}$ space if $i>j$. But this is not necessarily true, as commonly accepted definitions vary. For example, a $T_{3}$ space may do not satisfy the $T_{2}$ axiom.
In Section $5.1$ we introduce topological spaces satisfying the $T_{i}$ axiom for each $i=0,1,2,3,4$. We further study Hausdorff spaces in Section $5.2$ and regular and normal spaces in Section 5.3. We end this chapter by discussing common countability axioms.
Let $f, g: X \rightarrow Y$ be maps between sets. The coincidence set of $f$ and $g$ is the set
$$
C(f, g)={x \in X: f(x)=g(x)} .
$$
5.1. Axioms $T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{3}$, and $T_{4}$
Definition 5.1. Two points $p$ and $q$ in a topological space are topologically indistinguishable if they have exactly the same neighborhoods, and topologically distinguishable otherwise. Two sets in a topological space are separated by neighborhoods if they have disjoint neighborhoods. A separation axiom is a condition that a topological space may satisfy.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Selected Solutions 4
4.2）康托集。
4.3) (a) 不。例如，采取 $\Omega_{1}$ 轻率并采取 $\Omega_{2}$ 是离散的。
(b) 是的。假使，假设 $\left(X, \Omega_{1}\right)$ 已断开连接。然后 $\left(X, \Omega_{1}\right)$ 有一个非空的真 cloopen 子集，比如说， $A$. 自从
$$
\Omega_{1} \subseteq \Omega_{2},
$$
集合 $A$ 是关闭的 $\Omega_{2}$. 因此 $\left(X, \Omega_{2}\right)$ 已断开连接。
4.4) (a) 任何子集。假使，假设 $A \subseteq[0, \infty)$ 已断开连接。按定理4.4, 存在一个连续的满射
$$
f: A \rightarrow S^{0} \text {. }
$$
请注意，任何开集在 $A$ 由以下元素组成 $A$ 大于某个数字 $M$ ，并且任何闭集在 $A$ 由以下元素组成 $A$ 小于或等于某个数字 $m$. 因此， cloopen 集 $f^{-1}(1)$ 在 $A$ 必须是空集或整 个集 $A_{1}$ 与此相矛盾 $f$ 是主观的。
(b) 任何无限子集。一方面，任何非单例有限集 $A$ 是两个非空有限子集的并集。请注意，子集是有限的当且仅当它是封闭的。根据定理 4.4，我们推断 $A$ 已断开连接。 另一方面，相反地假设一个无限集 $A$ 已断开连接。按定理 $4.4$, 存在一个连续的满射
$$
f: A \rightarrow S^{0} .
$$
然后每个原像 $f^{-1}(\pm 1)$ 封闭在 $A$. 因此集合
$$
A-f^{-1}(-1) \cup f^{-1}(1)
$$
是有限的，矛盾的。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Separation and Countability Axioms
在本章中，我们考虑空间拓扑的自然限制，用于衡量空间与可度量空间的距离。这些限制称为分离公理。正如将要看到的，度量空间满足所有的分离公理。拓扑学家 为满足不同公理的空间类别分配了名称 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ，和 $T_{4}$ 空间，分别。后来这个编号系统扩展到包括 $T_{0}, T_{e}, T_{\pi}, T_{5}$ ，和 $T_{6}$. 这个想法应该是每个 $T_{i}$ 空间是一种特殊的 $T_{j}$ 空间如果 $i>j$. 但这不一定正确，因为並遍接受的定义各不相同。例如，个个 $T_{3}$ 空间可能不满足 $T_{2}$ 公理。
在部分 $5.1$ 我们引入满足 $T_{i}$ 每个公理 $i=0,1,2,3,4$. 我们在章节中进一步研究 Hausdorff空间 $5.2$ 以及第 $5.3$ 节中的常规和正常空间。我们通过讨论常见的可数公理来 结束本章。
让 $f, g: X \rightarrow Y$ 是集合之间的映射。巧合集 $f$ 和 $g$ 是集合
$$
C(f, g)=x \in X: f(x)=g(x) .
$$
5.1。公理 $T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ，和 $T_{4}$
定义 5.1。两点 $p$ 和 $q$ 在拓扑空间中，如果它们具有完全相同的邻域，则它们在拓扑上是不可区分的，否则在拓扑上是可区分的。如果拓扑空间中的两个集合具有不相 交的邻域，则它们由邻域分隔。分离公理是拓扑空间可能满足的条件。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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